Question

物流

（2）で①+②+③より2（a+b+c）=(a+b+c)k
a+b+c=0より 2・0=0・k
よって条件を満たすkは実数全体
としてはダメなのですか？

10 比例式 (II)
21
募
=k とするとき、次の各条件の下でんの
C
b+c_cta_a+b
b
a
値をそれぞれ求めよ。
(1) a+b+c=0 の場合
(2) a+b+c=0 の場合
第1章
精講
基本的には比例式ですから9の方針で連立方程式にしますが、 設問
を見ると,「a+b+cが現れる」ように, できあがった連立方程式を
扱うことになりそうです.
解答
[b+c=ak
与えられた式はc+a=bk
と書ける.
la+b=ck
①+②+③ より,2(a+b+c)=(a+b+c)k
..
(k-2)(a+b+c)=0
(1) a+b+c=0 のとき, k2=0
(2) a+b+c=0 のとき, b+c=-a
b+c-a =-1
a = 0 だから, k=-
a
a)
a+b+cがでてくる
ように ①+②+③
k=2
を作る
..k=-1
注 8 によれば, a≠0, 60, c≠0 がすでに仮定されているので,
a+b+c=0 はありえない, と思う人もいるかもしれませんが, a=2,
b=c=-1 のような場合があります。
ポイント
文字式でわってよいのは,
「わる式≠0」 がわかっているときだけ

Answer 1

ブドウくん

答えも違っているように、ダメです。必要条件で進めているだけで同値変形になっていないからです。

例えばx=2とy=3という2つの式を足し合わせるとx+y=5という新しい式ができます。しかし、x+y=5という結果だけを見ても、必ずしもx=2かつy=3であるとは言えません。x=1かつy=4など、他の数字の組み合わせも考えられるからです。

今回の問題でも全く同じ現象が起きています。3つの式を足してできた2(a+b+c)=(a+b+c)kという式は、a+b+c=0のときにkがどんな実数であっても成り立ちます。だからといって、もとの3つの式を満たすとはいえず、実際に元の3つの式を同時に満たすことができるのはkが-1のときだけです。

ブドウくん

補足
連立方程式に関して同値な変形だと言うためには、変形後から元の状態に復元できないといけません。3つの式があったとき、それらをすべて足し合わせて1つの式にまとめてしまうと、元の式がそれぞれ独立して持っていた情報が減ってしまうので同値性が崩れます。