Question

Hi（受験生）

なぜ下線のように言えるのですか？
例えばfx=60のとき、5、12で割り切れるという記述なら
60=5×12ですが、12、2で割り切れるという記述なら
60≠12×2になりますよね。

基礎問
46 第2章 複素数と方程式
27 因数定理
f(x)=x-x+p.x-gx+4がx-1, -2でわりきれるとき,
次の問いに答えよ.
(1) p, g の値を求めよ.
(2) f(x)=0 の 1,2以外の残りの解を求めよ.
精講
「x-1でわりきれる」 とは ｢æ-1でわった余りが0｣ と考えられ
るので, 剰余の定理で余りを0とおいて得られる定理, 「因数定理」
使えます.
解答
(1) f(x)=x²-x³+ px²-qx+4 lt,
x-1, -2でわりきれるので, f(1)=f(2)=0 因数定理
p-g+4=0
2p-q+6=0
ポイント
演習問題 27
(2) (1)より, f(x)=x-x-2x-2x+4
=(x-3x+2)(x2+2x+2)
=(x-1)(x-2)(x2+2x+2)
よって、残りの解はx²+2x+2=0 の解.
x=-1±i
Blr)
よって,
p=-2
lg=2
AL
整式f(x) をx-αでわるとき
(x-1)(x-2) すな
わち²-3x+2 で
わりきれる
わりきれる f(x)=0 (因数定理)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まさ

因数定理のx-1、x-2でわりきれるという記述は、fxが（x-1)(x-2)で割り切れる、という意味ではなく、x-1、x-2のどちらかで割り切れるというものになります。

なのでHiさんの例でいうと
fx=60のとき12,2で割り切れるという記述であれば、12か2のどちらかで割り切ることが出来れば大丈夫という事になります。

Hi（受験生）

すみません、ではなぜこのように変形できるのですか？

まさ

これは解説の2行目と3行目を入れ替えたほうが分かりやすいかもしれません。
fxがx-1、x-2のどちらかで割り切れればよいので
・fx=(x-1)(x-2)Rxとおく事が出来ます。

（割り切ることが出来るという条件については教科書のポイント参照）
（x-1)(x-2)＝（x^2-3x+2)-①
が出てくるのでfxを①で割ってあげるとRxが出てきます。

なので、一発目からその変形はよほど暗算に強いか、余白に計算をしていないと難しいと思います。
伝わりにくかったらすみません。

Hi（受験生）

何度もすみません。
「fxがx-1、x-2のどちらかで割り切れればよいので
・fx=(x-1)(x-2)Rxとおく事が出来ます。」

とありますが、x-1またはx-2で割り切れるので、
fx> （x-1)(x-2）となることはないのですか？

まさ

fx=(x-1)(x-2)だけだとxの2次式になってしまいます。
今回はfxがxの4次式なのでfx=（ｘ－１）（ｘ－２）Ｒｘ（Ｒｘは2次式）として次数を合わせる必要があります。

Hi（受験生）

なるほど、何度もありがとうございます、理解できました！