Question

れい

数Ⅲ 微分の問題です。
最後の答えで0<a<1/2で0<a≦1/2とならないのは
何故ですか？f'(x)=0でも極値を持つのではないでしょうか。どなたか教えてください。
解けたら凄いです！！

復習問題12
関数f(x) = ax-
e²x
e2x+1
が極値をもつように正の実数aの値の範囲を求めよ。

【復習問題12】
f'(x)=a
ここで,
g'(x)=
IC
=a-
f'(x)=0
2e2x
(e²x + 1)²
4e2x. (e2x+1)-2e2x2(e2x+1)・2e2x
(e²x+1)4
2e2. (e²x+1)-e²x.2e²x
(e²x + 1)²
(-∞)
2e2x
(2x+1) 2
g'(x)
g(x) (0)
4e 2 (1+e*) (1—eª)
(e²x+1)³
2x
(+)
a
+
0
0
1
2
(+8)
(0)
f'(x) の符号変化を
y=a
2 関数
2czx
(e²x + 1)²
g(x)=-
の大小より調べる
y=g(x)
(<0) (*)
2
f'(x) が符号変化するためには,y=g(x) と y=a の大小が入れ替わればよい.
y=a
IC
0<a</1/26(答)
5
はさ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Nn_nt

f´(x)=a-g(x)
f(x)が極値をもつ⇔f´(x)が前後で+と-の値をとる…①
y=a>y=g(x)のときf´(x)は+,y=g(x)>y=aのときf´(x)は負,a=g(x)のときf´(x)=0(f´(x)の符号の変化なし)
①の条件を満たすaとは
a>g(x),a<g(x)…②が同時に満たされるような正の実数である。

a=1/2の時②に適さずa=g(x)となりf´(x)の符号の変化はない
よってf(x)は極値をもたない
またlim(x→-∞)g(x)=0 lim(x→∞)g(x)=0
g(x)は限りなく0に近づくがg(x)=0になることはないので
a=0の時は常にg(x)>aとなり②の条件を満たさない。
あとはグラフから0<a<1/2