Question

ひー

この３問が分かりません。
教えて欲しいです。

(1) 重複を許した5つの負でない整数 α, b,c,d,e がある. このとき
a+b+c+d+e = 7 となるような (a,b,c,d, e) の組合せは何通りある
( 山梨学院大 )
(2)a+b+c=10, a≧1,6≧1,c≧1 を満たす整数 α, b, c の組の総数を求
めよ。
(東京理科大)
(3) 10 個のさいころを同時に投げたとき, 出た目すべての積をとる. このよ
うにして得られる数のうち, 奇数であるものの個数を求めよ. (東京女子大)
か.

Answer 1

ジャスタウェイ

これらの問題(重複組み合わせ問題)は「まる(○)」と「しきり(│)」で考えます。

(1)
この問題の見方を変えてみます。
「7つの○を、aさん、bさん、･･･、eさんに分け与える。このとき何ももらえない人が出てもよい。」
このような問題で考えます。

まず○は7個で確定なので、
○○○○○○○
というように並べます。

これを分けるときに出てくるのが「しきり(│)」です。
しきりの位置によって「まる(○)」を分配することができます。

たとえば、aさんが3つ、cさんが2つ、dさんが2つ、残りは何も貰えなかったとして、しきりによって分けられた区画の左からaさんのエリア、bさんのエリア、⋯とすれば、
○○○││○○│○○│
とこのように表せることができます。
このとき、a,b,c,d,eの5つに分けるので、しきりの数は4本です。

あとは「しきり(│)」[「まる(○)」]の位置を決めます。

「まる(○)」と「しきり(│)」を合わせて11のスペースが必要で、そのうちの4つをしきりが占領する[7つをまるが占領する]から、

₁₁C₄＝₁₁C₇＝330(通り)

となります。

(2)はすでに1以上が確定している、つまりa,b,c全員に「まる(○)」が1つ配られている状態から始まります。

今回はまるを
○○○○○○○○○○
のように10並べるのではなく、初めから1人1つずつ配った状態(3つ配られて7つの状態)で始めるから、
○○○○○○○
のように7つ並べます。

あとは(1)のようにしきりを2つ用意して(3つの区画に分けるから)、

₉C₂＝₉C₇＝36(通り)

となります。

(3)は、まず積が奇数になるためには、全てのサイコロの目が奇数(1,3,5)でなくてはなりません。
つまりサイコロ1つ1つが1,3,5のどれを選ぼうか問題に変わります。

これも「まる(○)」と「しきり(│)」問題に置きかえて、10個のサイコロが1,3,5の3つのエリアに何個分けられるか考えればいいから(○は10、しきりは2)、

₁₂C₂＝₁₂C₁₀＝66(個)

となります。

問題が進むにつれて抽象的に書いているので、分からない部分が合ったら教えてください。