Question

りーたん😎

質問です。
証明なのですが、これで大丈夫でしょうか?
アドバイス、欲しいです〜!!
宜しくお願いします。

7 x が有理数であるとき, x+√3 は無理数であることを背理法を用いて証
明せよ。ただし, √3 が無理数であることを用いてよいとする。
p.64

つけを有理数であるとすると、有理数を用いて
x+√3 = P
=P
√√3=P-X₁
から、有理数である)を引いても、有理数である。
これは、｢が無理数であることに矛盾する。
P
したがって、x+は無理数である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

AZ

たぶん大丈夫だと思いますが、有理数は(整数)/(整数)の形になるので
𝑷𝒓.
x+√3が有理数だと仮定する。xも有理数なので、
x+√3＝a/b、x＝c/d　((a,b,c,d)∈ℤ、b≠0、d≠0)として
√3＝(a/b)－(c/d)＝(ad-bc)/bd
ここで、
ad-bc∈ℤ
bd∈ℤ　なので
√3∈ℚとなって矛盾　■
とした方がちゃんとした証明になると思います。

りーたん😎

コメントありがとうございます。
ごめんなさい、ちょっと質問良いですか?
ℤやℚはどこから出てきたのでしょうか?

AZ

ℕ:自然数
ℤ:整数
ℚ:有理数
ℝ:実数
ℂ:複素数　です。
√3
＝(a/b)－(c/d)
＝(ad-bc)/bd　でそれぞれ分子・分母にあたる、
ad-bcとbdが共に整数で有理数の定義を満たしているので、
(最初の仮定の下で)√3は有理数、つまり、√3∈ℚです。

りーたん😎

返信ありがとうございます。
そうなんですね!!!
理解出来ました～!!
分かりやすかったです♪
ありがとうございました。