Question

あげあげ

このマーカーで引いた部分の式がなんでこうなるのか教えて欲しいです。

14
S
31 正の実数からなる数列{an}の初項から第n項までの和をS” とおく。 数列{an}が
2S=a2+nを満たすとき
(1) a1 を求めよ。
(2) 2,3,4 を求めよ。
(3) am を予想し, それが正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。
2.Sn=a²+n
① とする｡
(1) ①にn=1 を代入して 2S1=a2+1
S1 = α1 であるから 2a₁=a₁²+1
よって
(a₁-1)²=0
ゆえに
(2) ①にn=2を代入して 2S2=az2+2
S2=a1+a2=1+α2 であるから 2(1+2)=az²+2
すなわち
......
よって
a2²-2a2=0
20であるから a2=2
① に n=3 を代入して
2S3 = a²2+3
S3=a1+a2+a3=3+α3 であるから
よって
a-2a4-8=0
a₁=1
仮定からS=1/12kk+1)
1=1
よって
432-243-3=0
43 > 0 であるから a3=3
① にn= 4 を代入して 2S₁=a²+4
Sa=a1+a2+ax+a4=6+α であるから 2(6+a)=a4²+4
すなわち
(a₁ +2)(a₁-4)=0
a₂(a2-2)=0
2 (3+α3)=a32+3
すなわち
>0であるから
a4=4
(3) (1),(2) から, an=n...... ②と予想される。
この予想が正しいことを数学的帰納法で証明する。
[1] n=1のとき
a=1であるから、②は成り立つ。
[2] n≦k のとき,②が成り立つと仮定する。
n=k+1のときを考えると, 2Sk+1=ak+12+k+1 から
2(Sk+ax+1)=ax+12+k+1
W
(43+1)(43-3)=0
よって, ③ から k(k+1)+2ax+1=ak+12+k+1
整理して ak+1²-2ax+1- (k²-1)=0
すなわち
{ak+1+(k-1)}{ak+1 -(k+1)}=0
ak+1>0であるから ak+1=k+1
ゆえに,n=k+1 のときにも②は成り立つ。

数学的帰納法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

志摩🌈

いかがでしょうか✨

あげあげ

ありがとうございます😭