Question

来桜

解放と解説お願いします。

抜書
2 次の問いに答えよ。
5
(1) 次が成り立つことを示せ。
a = 0, 0, a = (a1,a2), 万 = (b1,62) のとき
b ⇒
a1bz-a2b1=0
a //
(2) 2つのベクトルa=(9,
のとき, (1) の結果を用いて, xの値を求めよ。
(x, 2) について,
6),
=

平面上のベクトル ベクトル 数b

Answer 1

AZ

(1)𝕒(a₁,a₂)、𝕓(b₁,b₂)を原点を基準とするベクトルとし、
A(a₁,a₂)、B(b₁,b₂)をxy平面上の点とする。
𝕒≠𝟘、𝕓≠𝟘であり、𝕒//𝕓より、𝕒と𝕓の傾きが等しいことから、
a₂/a₁＝b₂/b₁となる。整理して、
a₂b₁=a₁b₂
よって、a₁b₂－a₂b₁＝0
逆に、a₁b₂－a₂b₁＝0とする。𝕒≠𝟘、𝕓≠𝟘なので、
a₂/a₁＝b₂/b₁が成立する。a₂/a₁、b₂/b₁はそれぞれ𝕒、𝕓の傾きで、両者等しい。
したがって、A(a₁,a₂)、B(b₁,b₂)は同一直線上にあるので、𝕒と𝕓は平行、つまり、
𝕒//𝕓が成立。
以上より、𝕒//𝕓⇔a₁b₂－a₂b₁＝0　□

(2)　(1)より、－6x＝18⇔x=-3

AZ

補足
a₂/a₁＝b₂/b₁と変形する際、a₁≠0、b₁≠0を認める必要があります。
a₁≠0、b₁≠0のとき、上の証明に従います。

a₁、b₁の少なくとも一方が0(𝕒、𝕓の少なくとも一方がy軸に平行)の場合を考えます。
a₁＝0とすると、𝕒//𝕓よりb₁＝0　このときもa₁b₂－a₂b₁＝0が成立。
逆に、a₁＝0のとき、a₁b₂－a₂b₁＝0とする。a₁＝0より、a₂b₁＝0
ここで、𝕒≠𝟘よりa₂≠0よりb₁＝0なので、𝕒//𝕓