Question

Rose

半球1の球に、側面と底面で外接する直円錐を考える。のとこはどういう感じですか？写真の2枚目はこういうことですか？

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20
00000
重要 例題 184 最大・最小の応用問題 (2) ・・・ 題材は空間の図形
半径1の球に, 側面と底面で外接する直円錐を考える。 この直円錐の体積が最小
となるとき 底面の半径と高さの比を求めよ。
TORST
指針 立体の問題は,断面で考える。 →ここでは, 直円錐の頂点と底面の円の中心を通る平
で切った断面図をかく。 問題解決の手順は前ページ同様
① 変数と変域を決める。
② 量(ここでは体積) を ①で決めた 変数で表す。
であるが,この問題では体積を直ちに1つの文字で表すことは難しい。 そのため、わから
③3 体積が最小となる場合を調べる (導関数を利用)。
ないものはとにかく文字を使って表し,条件から文字を減らしていく方針で進める。
00=8A
解答
直円錐の高さをx, 底面の半径を r,体積
をVとすると, x>2であり
V== πr²x
①
球の中心を0として,直円錐をその頂点
と底面の円の中心を通る平面で切ったとき,
切り口の三角形ABC, および球と△ABC
との接点D, Eを右の図のように定める。
nie +(1+6200)
△ABE S △AOD (*) であるから AE: AD=BE: OD
すなわち
-1)-(1+
x:√(x-1)2-12=r:1
よって
練習
r=
②①に代入して
.....
x
√√x²–2x
=
座標空間の点A(1.1
X 12
√√x²-2x
D
BE
3
dV_π 2x(x-2)-x2・1
よって
dx 3
(x-2)2
dV
-=0 とすると, x>2であるから
dx
x>2のときVの増減表は右のようになり,体積Vはx=4
のとき最小となる。
このとき ② から
r= √2
ゆえに、求める底面の半径と高さの比は
-
•X=
.2
π
3 x-2
πx(x-4)
3 (x-2)²
x=4
r:x=√2:4
C
(高さ)>(球の半径) ×2
から。
200)+105=
(*) △ABEと△AODで
∠AEB=∠ADO=90°
Ay
∠BAE=∠OAD (共通)
対応する辺の比は等しい。
AD は, 三平方の定理を
利用して求める。
dV
dx
V
√ ( ² )' = ²²
Vをx (1変数) の式に直す 。
2
u'v-uv
...
-
02
4
- 0
26
極小
E
①
2
B612
[

14
球
直円錐

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぺんぎん

＿円錐の中に、珠が嵌っているってこと。
＿解説の図のAEを軸に360°回転させる、と言うこと。

Rose

ありがとうございます！

Answer 2

G

半球1の球に、側面と底面で外接する直円錐を考える。のとこはどういう感じですか？写真の2枚目はこういうことですか？
→写真の2枚目→直円錐✖︎
直円錐→下記の写真→

Rose

断面図はどの方向から見るのですか？

G

断面図？→どの方向からでも大丈夫
断面図→切「断」した「面」の「図」
展開図→「展開」した「図」

Rose

ありがとうございます！