Question

ヌー

メジアン283について
(1)の4x^3-6x^2+1=0を因数分解するとき、「x=1/uとおく」という指定なしでは、どう解けばよいのでしょうか？やっぱり当てずっぽうでいくしかないんですかね？

283 関数f(x) がf(x)=3x2-Sof(t)dt を満たすとき、次の問いに答えよ。
1
(1) 方程式 4x3-6x²+1=0 を x = とおくことにより解け。
U
(2) Solf (t)dt=3a² とおくとき,実数aの値を求めよ。ただし,a≧0 とする。
[15 宮城教育大

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

沢木陽織

方程式4x^3-6x^2+1=0は、それぞれの項の係数が整数になっています。
こういう方程式においては、
「最高次の係数(今回ならx^3の係数である4)をa、定数項(今回なら1)をbとすると、この方程式がもし有理数の解を持つならば、その解は(bの約数)/(aの約数)の形で表すことが出来る」
という定理が成り立ちます。(教科書には載っていないかもしれませんが、結構有名でかつ知っていると結構便利な定理です。証明はわりと簡単なので、もし気になったら「方程式の有理数解」などと検索してみてください)
今回なら、a(=4)の約数は±1,±2,±4、b(=1)の約数は±1ですから、もしこの方程式が有理数の解を持つなら、それは±1,±1/2,±1/4のどれかということが分かります。これらを総当りすれば置き換えなくても解が見つけられると思います。
(もちろん、この方法で見つけられるのは「有理数の解」ですから、虚数解や無理数解はこの方法で探せません。だからこの方法で全ての方程式が解けるわけではありません。しかし、例えばもし上のように総当りをした結果どれも解にならなかったら、「有理数の解は存在しない」ということが分かります。これが分かるだけでも結構大きいです。)