Question

あや

4step 数B 220
(3)模範解答のマーカーの式変形を詳しく教えてください🙏
あと、なぜ最後の答えの式は展開しなくていいんですか？どこまで展開するのか、しないのかの区別が分かりません💦

220 次の和Sを求めよ。
*(1)
(2)
*(3)
S=1·1+2·5+3·5² +4·5³+ ······ +n •5″−¹
2
4
n
S = 1 + ²/3 + 3³² + 3/3 + + 371
3³
3n-1
-1
S=1+4x+7x²+10x³++(3n−2) x²-¹

(3) x=1のとき
Are AIADHI
S=1+4+7+10+ +(3n-2)
01
= 2(3,
= Σ (3k-2)
k=1
-3-120m+1)-20
-n(3n-1)
=
.....
1
2
+E+S+I

x=1のとき
S=1+4x+7x²++(3n-2)x"-1
Day
この両辺にxを掛けると
(LxS=+x+4x²+ +(3n-5)xn-1
辺々引くと
よって
(1-x)S=1+
(1-x)S=1+3(x+ x² + ··.·.·· + x²−¹)
(6k+4)
すなわち
(1-x)S=
したがって
(S+*X
S=
... =====
+(3n-2)x"
3x(1-x-¹)
1-x
(S+3)(+税)
-(3n-2)x" OSS
(E-(3n-2)x"
1-x
1+2x−(3n+1)x" +(3n—2)x+1
8+8+1=2A-
1+2x-(3n+1)x" +(3n − 2)x¹+1
(1-x)2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考です

――――――――――――――――――――――――――――
辺々引くと

　(1－x)Ｓ＝1＋3(x＋x²＋･･･＋xⁿ⁻¹)－(3n－2)xⁿ

　　●(x＋x²＋･･･xⁿ⁻¹)を、{初項x、公比x}の

　　　　第1項から第(n-1)までの等比数列の和として公式より

　　　　(x＋x²＋･･･xⁿ⁻¹)＝x(1－xⁿ⁻¹)/(1－x)

よって

　(1－x)Ｓ＝1＋{3x(1－xⁿ⁻¹)/(1－x)}－(3n－2)xⁿ

　　●右辺を(1－x)で通分して

　　　1＝(1－x)/(1－x)となり

　　　(3n－2)xⁿ＝(1－x)(3n－2)xⁿ/(1－x)

　　　　　　　＝{1(3n－2)xⁿ－x(3n－2)xⁿ}/(1－x)

　　　　　　　＝{(3n－2)xⁿ－(3n－2)xⁿ⁺¹}/(1－x)

　　●分母がそろったので、1つにまとめ、分子を計算し

　　　分子：(1－x)＋{3x(1－xⁿ⁻¹)}－{(3n－2)xⁿ－(3n－2)xⁿ⁺¹}

　　　　　　＝1－x＋3x－3x･xⁿ⁻¹－(3n－2)xⁿ＋(3n－2)xⁿ⁺¹
　　　
　　　　　　＝1＋2x－3･xⁿ－3n＋2･xⁿ＋(3n－2)xⁿ⁺¹

　　　　　　＝1＋2x－(3n＋1)xⁿ＋(3n－2)xⁿ⁺¹

　　　　　★まとめる方針として、xの{1次、n次、(n＋1)}

すなわち

　(1－x)Ｓ＝{1＋2x－(3n＋1)xⁿ＋(3n－2)xⁿ⁺¹}/(1－x)

　　●両辺を(1－x)で割って

したがって

　　　　Ｓ＝{1＋2x－(3n＋1)xⁿ＋(3n－2)xⁿ⁺¹}/(1－x)²

―――――――――――――――――――――――――――
という流れになっています