Question

ゆー

(3)の別解が分からないのですが、xとyに代入するのは何を代入しても良いのですか？
そのあとの部分もよく分からないので教えて欲しいです💦

10.x≧0、y≧0とし、不等式 c(x+y)≧2√ry….①を考える.ただし、
cは正の定数である.
(1) c≧1 のとき, ① はつねに成り立つことを示せ。
(2) ① がつねに成り立てば,c≧1 であることを示せ .
(3) +√y shvity がつねに成り立つような正の定数kのうちで,最
小なものはいくらか.
(

解説
(1) (相加平均) (相乗平均) を用いて示してもよい。
[別解]
x≧0 y≧0より (相加平均) ≧ (相乗平均) から,
x+y≥2√xy.
c≧1 より,
c(x+y) ≥2c√xy ≥2√xy.
(3) (1),(2)によらず直接求めることもできる.
[別解]
x≧0 y≧0とするとき,
√x + √y≤k√√x+y
がつねに成り立つから, (*)でx=y=1 とおくと, 2≦√2k.
これより,√2≦k である.
また,
ここより,
=(√x - √y)² ≥0
Ny
Sts.
(√2√√√x + y)²-(√√x+√y)²=2(x+y)(x+y+2√xy) 9
CHR
(√x + √y) ² ≤ (√2√√x+y)² =
. ••*(*)
CSV (S)
√x+√y≧0,√2√x+y≧0であるから,
√x + √¥ ≤√2√√x+y.
よって,
k=√2 のとき(*)はつねに成り立つ.
したがって, (*)がつねに成り立つような正の定数kの最小値は2である.