参考・概略です
a＝1＋√3
a－1＝√3
a²－2a＋1＝3
a²－2a－2＝0
a⁵＋a⁴＋a³＋a²＋a
＝(a²－2a－2)(a³＋3a²＋9a＋25)＋69a＋50
●a²－2a－2＝0 より
＝69a＋50
●a＝1＋√3 より
＝69(1＋√3)＋50
＝119＋69√3
＞a⁵＋a⁴＋a³＋a²＋a
＝(a²－2a－2)(a³＋3a²＋9a＋25)＋69a＋50
の部分は、
(a⁵＋a⁴＋a³＋a²＋a)÷(a²－2a－2)を
筆算等で、商と余りを求めて作ります
例：7÷3＝2 あまり 1から
7＝3×2＋1 という式を作るのと同様です
商(a³＋3a²＋9a＋25)で、余り(69a＋50)となります
目的は「a⁵＋a⁴＋a³＋a²＋a」の値を求める事で
その条件が「a＝1＋√3」で、そのまま代入しても良いですが
速く正確に求める為に、(1)のa²－2a－2＝0を利用します
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利用例として
a²－2a＋1の値なら、
a²－2a＋1＝(a²－2a－2)＋3＝0＋3＝3
3a²－6a＋5の値なら
3a²－6a＋5＝3(a²－2a－2)＋11＝0＋11＝11
5a³－10a²－10a＋7なら
5a³－10a²－10a＋7＝5a(a²－2a－2)＋7＝0＋7＝7
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以上のように、求める式を(a²－2a－2)との積＋α
で表すことにより、楽に求める事ができます
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それで、7を3と■の積＋αで表すときは
7を3で割り商が■あまりαで
7＝3×■＋αとなるのと同様に
(a⁵＋a⁴＋a³＋a²＋a)を(a²－2a－2)でわり
商(a³＋3a²＋9a＋25)、余り(69a＋50)を求めて
(a⁵＋a⁴＋a³＋a²＋a)
＝(a²－2a－2)(a³＋3a²＋9a＋25)＋(69a＋50)
を作ります。
筆算の例です
a³＋ 3a²＋9a＋25
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a²－2a－2 ) a⁵＋ a⁴＋ a³＋ a²＋ a
a⁵－2a⁴－2a³
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3a⁴＋3a³＋ a²
3a⁴－6a³－ 6a²
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9a³－ 7a²＋ a
9a³－18a²－18a
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25a²－19a
25a²ー50a－50
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69a＋50
下線部は公式か何かですか？