Question

やまと

数IIの式と証明 方程式の範囲です。P(x)に定数が3つもあり、複雑なので、よく分かりません。まずどこに注目して計算を始めればいいか分かりません。

あるという。
J
U
16α, b,c を定数 (ただしα≠0) とする x の4次式
P(x)=ax+bx3+2c (x2+x+1) がある。
P(x) を x+2で割ると38余り, P(x) を(x+1)2で割ると
-
8x-5余る。 このとき,定数a,b,cの値を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

P(x)=ax⁴4+bx³+2c(x²+x+1)

3行目の前半から
P(x)=(x+2)Q₁(x)+38…①
3行目の後半から
P(x)=(x+1)²Q₂(x)-8x-5…②
　　=(x+1)²Q₂(x)-8(x+1)+3
　　＝(x+1){(x+1)Q₁(x)-8}+3…③

この関係を使って連立方程式を3本作ればよい。
①より、
P(-2)=16a-8b+6c=38
　　＝8a-4b+3c＝19…①'
③より
P(-1)=a-b+2c=3…③'

また、②式を両辺とも微分して
P'(x)＝4ax³+3bx²+2c(2x+1)
　　=(x+1)²Q'₂(x)+2(x+1)Q₂(x)-8 より
P'(-1)=-4a+3b-2c=-8…②'

これで連立方程式が3本できたので
①'②'③'を連立して、
a=3, b=2, c=1

やまと

ありがとうございます。①、③の方程式まではわかりました。けど、微分の分野をまだ習ってないので、最後だけが分かりません。すみません、微分を使わない解法ってありますか？

HIROBA〜

変数を１つに減らしたところで
二次式で割れば
できると思います。
ぜひやってみてください。