Question

ゲゲスト

なぜこの手順で3点PQRは1つの直線上にあると分かるのでしょうか？

④58 右の図のように、 四角形ABCDの辺AB, CD の延長の
交点をEとし, 辺AD, BC の延長の交点をFとする。
線分 AC, BD, EF の中点をそれぞれP, Q, R とする
とき,3点P,Q, Rは1つの直線上にあることを証明
せよ。 (ニュートンの定理)
→85
B
A
E
R
F

辺BCの中点をLとすると, 中点連結
定理により
PL//AB, 2PL=AB
①
線分 CE の中点をMとすると,中点
連結定理により
また
*
......
PM//AE, 2PM=AE
E は辺ABの延長にあるから ①,②
より, PL と PM は同じ直線を表し、P は直線LM 上にある。
線分EBの中点をNとすると,同様にして
(3)
QN //DE, 2QN=DE
QL/DC, 2QL=DC ......."④
RM/FC, 2RM=FC ...... ⑤
B
②
BF CD EA 2RN 2QL 2PM
FC DE AB
2RM2QN 2PL
MP LQ NR
PL QN RM
・
N,
A P
=1
E
●
M
RN // FB, 2RN=FB ...
.
6
E は辺 CD の延長にあるから, ③, ④より, QN と QL は同じ
直線を表し,Qは直線 NL 上にある。
F は辺BCの延長にあるから ⑤ ⑥ より, RM と RN は同じ
直線を表し、R は直線MN 上にある。
△EBCと直線AF について,メネラウスの定理により,
=1
R
L C
F
すなわち
よって、メネラウスの定理の逆により, 3点P, Q, R は 1つの
直線上にある。