Question

mikkk

数Aの空間図形の問題です。
(2)の垂線の長さの求め方を教えてください

11
1辺の長さが2である右の図の立方体
ABCDEFGH の4つの頂点A, C, F, H を
結んでできる四面体 ACFH について,次の値
を求めよ。
HA
(1) 四面体 ACFH の体積
(2) Aから平面 CFH に下ろした垂線の長さ
HT
A
E
D
Bi
F
H

空間図形

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

できる四面体は、1辺2√2の正四面体
(2)Aから平面CFHに下ろした垂線の長さは正四面体の高さである。
1辺がaの正四面体の高さは√6a/3
よって、求める答えは、4√3/3

mikkk

どこから解いていけばいいのか苦戦していましたが1から分かりやすく説明して頂いたので理解出来ました！ありがとうございました🙇🏻‍♀️

数英helper

読んで頂けるか分かりませんが、正四面体である時、全ての辺において長さが等しくなります。これが正四面体になるための絶対条件です。しかし、問題の四面体で例えば△ABFの面をみるとAB=BFではありますが、AFは三平方の定理を使うと分かる通り、長さが等しくなりません。従って他の面を考える余地もなく、問題の四面体は正四面体ではありません。では何なのか。という話なんですが、これは等面四面体というものになります。等面四面体は全ての面が合同になる四面体のことを言います。失礼かもしれませんが、この方の考え方は間違っていると思われます。

あ

ご指摘ありがとうございます。
立方体のABCDEFGHのAFCHを結んだ立体は正四面体となると思うのですが、、等積四面体は直方体に埋め込めることで有名ですね。ABやBFは含まれていませんよ。

Answer 2

数英helper

Aから平面CFHに垂線AIを下ろします。
△ABCを底面とすると
四面体の体積は
2×2×2分の1×2×3分の1
=3分の4…①
△CFHを底面とすると
四面体の体積は
2×2×2分の1×AI×3分の1
=3分の2AI…②
①、②より
3分の4=3分の2AI
ゆえに2AI=4
よってAI=2