Question

さいこ

（２）を途中式を含めて教えてください

3 次の式を因数分解せよ。
(1)
(2)
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) +3abc
a(b-c)³+b(c-a)³ + c(a−b)³
(1) (a+b+c)(ab+bc+ca) (2) (a−b)(b-c)(c − a)(a+b+c)

Answer 1

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躑躅髑髏

aについて整理したいので，(c-a)^3や(a-b)^3は展開します．a(b-c)^3は，一応aでまとまった項なので展開は後回しにします． a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3 =a(b-c)^3+b(c^3-3ac^2+3a^2c-a^3)+c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3) =(-b+c)a^3+{(b-c)^3-3bc^2+3b^2c}+bc^3-b^3c と，a^2の項が消えました． それぞれの項について，係数を整理すると -b+c=-(b-c) (b-c)^3-3bc^2+3b^2c=(b-c)^3+3bc(b-c)=(b-c){(b-c)^2+3bc}=(b-c)(b^2+bc+c^2) bc^3-b^3c=-bc(b+c)(b-c) と共通因数としてb-cが見えてきますので， (-b+c)a^3+{(b-c)^3-3bc^2+3b^2c}+bc^3-b^3c =-(b-c)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c)(b-c) =(b-c){-a^3+(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c)} となって，ひとまずb-cでくくれます． この中括弧の中はaについて3次，b,cについてそれぞれ2次ですので今度はbについて整理すると， -a^3+(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c) =(a-c)b^2+(ac-c^2)b-a^3+ac^2 =(a-c)b^2+c(a-c)b-a(a+c)(a-c) =(a-c){b^2+cb-a(a+c)} =(a-c){c(b-a)+b^2-a^2} =(a-c){c(b-a)+(b+a)(b-a)} =(a-c)(b-a)(c+b+a) と分解が進み，求める因数分解が (b-c)(c-a)(a-b)(a+b+c)