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こういった比を問う問題では、基準をつくってあげると明解です。
ここでは、△ABCの面積をSとおきます。
✳︎(1)に限っては、△BDEで考えて、辺BGと辺GEの比を考えるだけで解けますが。
(1)
△ABE=S×1/2 (点Eは辺ACの中点）
△BDE=△ABE×1/2
△GED=△BDE×1/3 (点Gが重心→BG:GE=2:1）
=S×1/12
△GDB=△BDE-△GED=S×1/6
よって、△GED : △GDB=1:2
(2)
四角形ADGE=△ABE-△GDB=S×1/3
よって、四角形ADGE : △ABC=1:3
他の比較の問題も高校数学の範囲なら基準を作ることで大体解けると思います。
メネラウスの定理やチェバの定理でわかることは、各線分上の内分の比です。この問題は点D、点Eが中点であることから点Gは重心（問題文にも書いてありますが）とわかるので全ての内分の比がわかるわかります。つまりメネラウスの定理等は使う必要がありません。
重心の内分比を忘れてしまった時とかは使えば内分比がわかるといったくらいですね。
あと、基本的にチェバの定理で解ける問題はメネラウスの定理でも解ける（逆は必ずしも解けない）ので、自分はチェバの定理は高校時代一度も覚えませんでした。ですが、チェバの定理を使わせるような問題が出ることがある数学の一次試験等の模試、本番でも基本満点を取れました。自慢みたいになって恐縮ですが、覚えることを少なくすることは重要だと思うので長々と言いました。
覚えよう覚えようとするほど、問題解決の際にどんどん頭がかたくなっちゃいます。
勉強頑張ってください！
この問題はメネラウスの定理やチェバの定理を使いませんか？