Question

か

［　］で囲ったところがなぜそうなるのか教えてください

119 多項式 P(x) を (x-1)2 で割ると余りが 4x-5, x+2で割ると余りが-4
ある。このとき,P(x) を (x-1)' (x+2) で割ったときの余りを求めよ。

119 P(x) を (1) 2(x+2) で割ったときの商を
Q(x), 余りをR(x) とする。
このとき
P(x)=(x-1)2(x+2)Q(x)+R(x)
ここで, R(x) は2次以下の多項式または0であ
る。
(x-1)(x+2)Q(x) は (x-1)2で割り切れるから,
P(x) を (x-1)2で割った余りは、 R(x) を (x-1)2
で割った余りと等しい。
よって, R(x) は次のように表される。
1+xS
ゆえに
R(x)=a(x-1)2+4x-5 (aは定数)
P(x)=(x-1)2(x+2)Q(x)
煎
+α(x-1)2+4x-5
P(x) を x+2で割ると余りが-4であるから
XARE
P(-2)=-4
P(-2)=9a-13
また, ① から
よって
9a-13=-4
したがって, 求める余りは
すなわち
x2+2x-4
+05+
99
ゆえに a=1
(x-1)2+4x-5