Question

おいも

数Ⅱから不等式の証明の範囲での質問です。

問題を解き始めるときいつものように、両辺の2乗の差から始めようと思ったのですが、今まで見たことない[1]があり"不等式は明らかに成り立つ"と記載されています。

ここの意味がいまいちぴんと来ていません。また加えて、なぜ今回は場合分けをして証明を行っているのでしょうか？
解説お願いいたします。

それと、一応補足の部分ではあるのですが、等号が成り立つのは、の条件がなぜこの2つなのかが分かりません。

分からないところが多いのですが、分かりやすく教えて下さると嬉しいです。
よろしくお願いします！

△ 52 不等式 |α|-|6|≧|a +6|を証明せよ。

52 [1] |a|-|<0のとき
不等式は明らかに成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0のときap&dn
両辺の平方の差を考えると
la + 612_(|a|-|6|)2
= (a²+2ab+b²) — (a²_2|ab| +6²)
=2(ab+|ab|)≥0 da S
0<» [R
間
よって
(|a|-|6|)2≦la + 6/28
la +6≧0, lal-6≧0であるから
|a| − |b|≤|a+b|
[1],[2] から
参考 等号が成り立つのは,
|a| − |b|≤|a+bl
|a|-16≧0かつab=-labl,
すなわち|a|≧|| かつ ab≧0のときである。

不等式の証明 絶対値

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

今回は、というか毎回確認しているはずですが…

「2乗の差が正」を言えば「差が正」が言えて証明終了
というのは示す不等式の両辺が正のときの話です

この確認をとらずに2乗の差が正を言ってもダメです

で、今回はどうかと言えば、左辺の正負が不明です
よって左辺が正か負かで場合分けすることになります

等号成立について
[1]では、左辺<0のもとでは
等号が成立しないことが示されています
左辺は0未満で右辺は0以上だからです
よって、等号成立のためには[2]のように左辺≧0が必要です
あとは[2]の5行目の式より、
=が成り立つにはab+|ab|=0です