Question

sa

答えと解説を教えてください

20
練3
習5
練習 S=1+2r+3r² +......+nrn-123. WIR
35
(1) r = 1 のとき, Sを求めよ。自
(2)
r=1のとき, Sを求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

(1) ｒ＝1を代入し，計算

　　Ｓ＝　1＋2＋3＋･･･＋n＝(1/2)n(n＋1)

(2) ｒＳを作り，ＳーｒＳ考える
　Ｓ＝1＋2r ＋3r²＋･･･＋(n－2)rⁿ⁻³＋(n－1)rⁿ⁻²＋nrⁿ⁻¹　より
ｒＳ＝r＋2r²＋3r³＋･･･＋(n－1)rⁿ⁻²＋(n－1)rⁿ⁻¹＋nrⁿ　

●Ｓ－ｒＳを考えると(計算しやすいようrの次数を揃えます)
　　　Ｓ＝1＋2r ＋3r²＋･･････＋(n－2)rⁿ⁻³＋(n－1)rⁿ⁻²＋　　 nrⁿ⁻¹
　　ｒＳ＝　　r＋ 2r²＋3r³＋････････････＋(n－2)rⁿ⁻²＋(n－1)rⁿ⁻¹＋nrⁿ
――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1－r)Ｓ＝1＋ r＋ r²＋ r³＋････････････＋　　　rⁿ⁻²＋　　　rⁿ⁻¹－nrⁿ

　【1＋r＋r²＋r³＋･･･＋rⁿ⁻²＋rⁿ⁻¹　が初項1，公比rの等比数列で公式から】
　【＝(1－rⁿ)/(1－r)

(1－r)Ｓ＝(1－rⁿ)/(1－r)－nrⁿ

　【右辺を通分してまとめる】

(1－r)Ｓ＝{(1－rⁿ)－(1－r)nrⁿ}/(1－r)
(1－r)Ｓ＝{1－rⁿ－nrⁿ＋nrⁿ⁺¹}/(1－r)
(1－r)Ｓ＝{1－(1＋n)rⁿ＋nrⁿ⁺¹}/(1－r)
　　　Ｓ＝{1－(1＋n)rⁿ＋nrⁿ⁺¹}/(1－r)²