Question

あああああ

この不等式の中で最大の値の絶対値は外れるが、最小の値の絶対値は外れない理由なのですが、このような解釈で合っていますでしょうか？（ノートの緑や黄色で書いてあるところです！）

間違っていた場合、なぜそうなるのか教えて頂きたいです💦

ax, y, が実数のとき, 次の問いに答えよ.
例題
(1) -|a| ≦a≦|a| が成り立つことを証明せよ.
(2) 2≦y2 のとき,||≦|y| が成り立つことを証明せよ.また,逆も成り立
つことを証明せよ.
解
(1) a ≧0のとき-lalmomala|
=
a < 0 のとき -|a| = a < 0 < |a|
よって-|a|≦a≦lal
(2) x² = |x|², y² = |y|² £ h
y' - x² = |y|^2-|x|^2=(|g|-|x|) (|g|+|x|)
–
|x| ≧0,|y| ≧0より,|y|+|x| ≧0
よって, x² ≤ y² のとき, y' - x≧0 だから
y'
|-|x| ≧0 すなわち|xc|y|
逆に |xc| ≦|y| のとき,|y|-|x|≧0 だから
y²-x²20 sbb x² ≤y²
すなわち
142 a b が実数のとき,次の不等式を証明せよ.
||a| = |b|| ≤ |a+b] ≤ |a| + |b|

2
142 |a|+|6|)² - (a+b)^ = 2(|ab|- ab)
(a+b)^ - (|a|-|6|)² = 2(ab+ |ab|)
例題の (1) より lab-ab≧0, ab + |ab| ≧0 だ
から
(|a|-|6)2 ≦ (a+b)^ ≦ (lal + 16|)2
よって,例題の (2) より
||a| - |6|| la + 6| ≦ |a| + 6|

2
2
(lal-lal)² = (a+h)² = (lalt lal) ²
2
よって、例題(2) より
(alze 139 E
正
la/4/a/17412
(ligi-141)= |a
正
[a+b =
lal + | chl
=
正
latlal ath = /al+hal
正!!

不等式 証明 絶対値

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

リグ

その解釈で私は良いと思います。
逆に最大の方がなぜ外れるかを考える方が良くてですね、任意の実数a,bに対して|a|,|b|は0以上ですから、それらを足したものも0以上になる。だから絶対値が外れてるわけです。

でもよく考えると、最小の方の絶対値を外した不等式もまた真になる気がしますね。（考えてみてください。）

あああああ

分かりやすい回答、ありがとうございます😭

なるほど！！最小の方のaとbの絶対値の差が負だったとしても、それの絶対値だから正になるため絶対値が外せるということでしょうか？

リグ

それは少し解釈違いかもしれないです．|a|,|b|は実数です．特にいえば，0以上の実数値なわけですね．例えば，a=0,b=10000としたとき，明らかに，|a|-|b|<0 ですよね．
このような例からも，任意の実数 a,b に対して，
|a|-|b|≦||a|-|b||≦|a+b|≦|a|+|b|
つまり，|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b| が言えそうですよね．

あああああ

なるほど！何となく分かった気がします！！
ありがとうございます！！

リグ

三角不等式といいます．
よかったら，調べてみると知識が増えると思います．