Question

🍼

数IIの問題です。
(1)の問題は理解したのですが、(2)の問題が分かりません。
どうして、X²ー4X＋3で割って居るのでしょうか？
また組立除法で求める事は可能ですか？

別解のX²ー4が商なのもなぜなのでしょうか？

疑問が多いですが答えて下さると助かります🙇‍♀️

116 α 6 は定数とする。 4次方程式x-ax-x2+16x+6=0が1と3を解
にもつとき, 次の問いに答えよ。
p.63 補充問題 6
(1) α, 6 の値を求めよ。 (2) 他の解を求めよ。

(1) P(1) = 0, P(3)=0 であるから
14-a-1³-1²+16-1+b=0
34 a 3³-32 +16-3+b=0
式を整理して a-b=16, 27a-6=120
これを解いて a=4,b=-12
(2) (1) から P(x)=x^-4x-x2+16x-12
P(1) = 0, P(3)=0 から, P(x)はx-1, x-3
を因数にもつ。
P(x) を (x-1)(x-3)=x2-4x+3で割ると
x2-4
x2-4x+3)x4-4x3 - x2 +16x-12
x44x3+3x2
-4x2 + 16x-12
-4x² +16x-12
よって P(x)=(x-1)(x-3)(x2-4)
=(x-1)(x-3)(x+2)(x-2)
P(x)=0からx=1, 3, -2, 2
したがって,他の解は ±2
x2-4x+3)x4 -αx3
x44x3
0
別解 (1) 1と3が解であるから,
x-ax3x2+ 16x+bは (x-1)(x-3) すなわち
2-4x+3で割り切れる。
x4-ax3x2+ 16x+bをx2-4x+3で割ると
x2+(4-a)x+(12-4a)
x2
+3x2
-4x2
(4- a)x³
(4-α)x 3-(16-4a)x2+
+16x+b
+16x
(12-3a)x
(12-4a)x2 + ( 4 +3a)x + b
(12-4a)x2-(48-16a)x+ (36-12a)
(52-13a)x-36+12a+b
よって,商はx2+(4−a)x+12-4a, 余りは
(52-13a)x-36 + 12a + b である。
x-ax3x2+16x+bはx2-4x+3で割り切れ
るから
52-13a=0,-36+12a+b=0
これを解いて
a=4,b=-12
(2) (1) の結果から,商はx-4
よって, 4次方程式は
(x-1)(x-3)(x²-4)=0
すなわち (x-1)(x-3)(x+2)(x-2)=0
したがって,他の解は ±2

高次方程式

Answer 1

Yuki

f(x)は1と3を解に持つため、一気に(x-1)(x-3)=x²-4x+3で割ってしまえば計算が楽だからです。
1回1回分けて計算しても答えは出るはずです。
f(x)(←a、b含む)をx²-4x+3で割ったものの答えにa、bの値を代入したら出てくる答えだからです