Question

悠

数B 漸化式 隣接３項間。抽象的な質問になりますが、主に(4)についてです。(3)と(4)の解き方を比較して、どちらもbn((3)の解説では置き換えてはないですが置き換えたとして)の一般項を求める所までは同じです。そこからanの一般項を求めるとき(3)は階差数列の和の公式を使って求めていて、(4)は何やらわからないことを始めているのですが、この2つの違いはなんですか？(4)ではなぜそのやり方にシフトしたのか教えていただきたいです。

f.DL-
■ 発展
74 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
(1) a1=0, az=2, an+2+3an+1-4an=0
3 (2) a1=1, az=4, an+2-5an+1+4an=0
(3) α=1,a2=5, an+2-5an+1+6an=0
(4) a1=2, az=3, an+2-6an+1+9an=0
BUSY

(3) an+2-5+1+64=0を2通りに変形して
an+2-2an+1=3(an+1-24²)
an+2-3an+1=2(an+1-3am) ······ 2
① から,数列{an+1−2an}は,初項a2-2a1=3,公比3の等比数列であるから
an+1-2a=3.3"-1=3"
・①'
******
******

② から、数列{a,+1-3am}は,初項2-3a1=2,公比2の等比数列であるから
an+1-34=2.2"-1=2"
①'②' から an=3"-2"
(4) an+2-6an+1 +94 = 0 を変形すると
1
bn=an+1-34 とおくと
bn+1=3b"
よって,数列{bn}は,初項b1=a2-341=-3,公比3の等比数列であるから
bm=-3.3"-1=-3"
ゆえに an+1-3a=-3"
1
両辺を3"+1で割ると
したがって, 数列
よって
=
"1
3"
an+1 an
3"+1 3"
2
17/17--1/716
3
3
-
=
an+2-3an+1=3(an+1-3a²)
は初項 1/3=1 公差 -1/3の等差数列であるから
3"
a = 3-(n-1)=3-(3-)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

まず(4)です
この74の問題の前後に、
a_(n+1) = ○a_(n) +△ⁿのタイプの漸化式の問題がありませんか？
その通りに解いているだけです

(3)は漸化式を①②の2通りに変形できます
①②それぞれa_(n+1) = ○a_(n)+△の形にできます
それが①'②'です
①'（または②'）を(4)と同じように解いてもいいのですが、面倒です
①'-②'をやるだけでa_(n)が出せるので、そうしているのです

(3)は2通りに変形できるから楽ができ、
(4)は1通りにしか変形できないから少し面倒な方法をとる
ということです

悠

納得です！一通りの変形しかできない時はこう解くのですね！ご回答ありがとうございます。