Question

ℎ

青チャートIIのEX38の質問です。まず黄色線の所が何故そうなるのかが分からないです。また、何故この問題の答えが最小となるのかが分からないです。

EX x2 +1 で割ると3x+2余り, x+x+1で割ると2x+3余るようなxの整式のうちで,次数が最
④38 小のものを求めよ。
HINT整式を P(x) とし, 割る式x2+1, x2+x+1の積(x2+1)(x2+x+1) で割ったときの割り算の
基本等式 P(x) = (x2+1)(x²+x+1)Q(x)+R(x) に注目する。 P(x) を x2 +1, x2+x+1
で割ったときの余りは、 R(x) を x2 +1, x2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しい。
X=(3)0
整式 P(x) を4次式(x2+1)(x2+x+1) で割ったときの商を
Q(x), 余りをR(x) とすると,次の等式が成り立つ。
P(x)=(x2+1)(x2+x+1)Q(x)+R(x) R(x) は3次以下
P(x) を x2 +1, x2+x+1で割ったときの余りは,R(x) を
x2+1, x2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しいから,
求める整式は R(x) [3次以下の式] である。 +48-8)\
R(x) を x2 +1で割ったときの商は, 1次式または定数であり,
条件から R(x)=(x2+1)(ax+b)+3x+2
E=T+DS
S
同様に
R(x)=(x2+x+1)(ax+c)+2x+3
と書ける。 よって
(x2+1)(ax+b)+3x+2= (x2+x+1)(ax+c)+2x+3
これは x についての恒等式である。
両辺を展開して, 整理すると
ax²+bx2+(a+3)x+b+2=ax²+(a+c)x2+(a+c+2)x+c+3
a=1,b=2,c=1
^)\
←4次式で割ったときの
余りは, 3次以下の式ま
定数 存
Q.
R(x)=(x2+1)(x+2)+3x+2=x+2x²+4x+4
5+3=(1)\
ANT
←3次以下の式 R(x) を
2次式x2+1で割ったと
のは、 1次式または
係数を比較して b=a+c, a+3=a+c+2, 6+2=c+3比較法。
これを解くと
したがって、求める整式は
定数
X3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

MathLove

・黄色線の部分に関してです。P(x)＝(x＋1)(x²＋x＋1)Q(x)＋R(x)を(x＋1)、(x²＋x＋1)でそれぞれ割った時(x＋1)(x²＋x＋1)Q(x)の項は必ず消えますね。ここでP(x)の式を見ると残り物のR(x)を(x＋1)、(x²＋x＋1)で割った余りがP(x)を(x＋1)、(x²＋x＋1)で割った余りと等しくなる事が分かります。
・なぜ最小だと分かるのか。x²＋1で割った時に余りが3x＋2、x²＋x＋1で割った時に余りが2x＋3になるような整式(ここではf(x)とします)は無限に存在します。というのも商をA(x)とした時にf(x)＝(x²＋1)A(x)＋3x＋2が成り立ち、ここでA(x)を任意とし次数を好き勝手係数なども勝手に決めればそのA(x)によって得られる右辺の式を満たすようなf(x)が無限に存在するからです。ですが黄色線のような操作をすることで次数に制限(今回では3次以下)をかけることができます(割る数の次数＞余りの次数)。したがってあとは題意を満たすように変数を設定して恒等式を解けば答えが求まります。初見でこの発想が出たら大したものですね。仮にこの方法が思いつかなくても割る数が2次で余りが1次だから恐らく最小次数の元の式は3次であると予想してax³＋bx²＋cx＋dとおいても多分解けると思いますがリスキーな上に数学の解答としては相応しくないように感じます。分からない部分や納得できないとこがあればなんでも聞いてください。