Question

me

なぜ根号のなかのDがyの完全平方式になる時与式がx,yの一次式の積になるのですか。

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例題 56 完全平方式
(1)( )で表される式を完全平方式という.xの2次式
x2+2ax+a+6 が完全平方式となるように、 定数αの値を定め, 完
全平方式で表せ.
(2) x2-xy-2y2+5x+ay +6 がx,yの1次式の積となるように, 定
数αの値を定め, 因数分解せよ.

全平方式で表せ.
(2) x2xy-2y2+5x+ay+6 がx,yの1次式の積となる
数αの値を定め, 因数分解せよ.
考え方 (1) (与式)=0 の判別式 D=0(与式)=(x-α)” を利用する.
(2) xの2次式とみて式変形してみる.
解答
(1) x2+2ax+a+6=0 とおいたときの判別式をDとすると,
D=0 のとき、左辺は完全平方式となる.
D =a²-(a+6)
=(a+2)(a-3)=0 より, a=-2,3
a=-2 のとき,(与式)=x²-4x+4=(x-2)2
α=3のとき(与式)=x2+6x+9=(x+3)
(2) xの2次方程式x2-xy-2y2+5x+ay+6=0.①
の判別式をDとすると,①の解は,
$30
x2(y-5)x-2y2+αy+6=0 より x=
したがって、与式は,
(与式)=(x-2-5+)(x-2-52D
y-5+√D
と式変形できる.
D={-(y-5)}-4(-2y²+ay+6)
=y-10y+25+8y²-4ay-24
y-5±√D
2
4
kas.
=9y²-2(2a+5)y+1 (20
したがって, 与式がx,yの1次式の積になるのは,
根号の中のDがyの完全平方式となるときである.
つまり 92-2(2a+5)y+1=0の判別式をと
すると, 求める条件は, D=0 である.
D=(2a+5)^2-9-1=0
(2a+5+3)(2a+5-3)=0 より, a=-4, -1
a=-4のとき、(与式)=x-(y-5)x-2y²-4y+6
=x2-(y-5)x-2(y-1)(y+3)
=(x+y+3)(x-2y+2)
a=-1のとき、(与式)=x-(y-5)x-2y²-y+6
=x²-(y-5)x-(y+2)(2y-3)
=(x+y+2)(x-2y+3)

Answer 1

冒昧

判別式Dは二次式なので、√Dが1次式となるとき、Dは完全平方式となります。