Question

あるある

写真のここでの後がわかりません。2枚目です

7.3
1 + 1 1/2 + 1/3 + - + - - - < 2 √n.
n
(i)n=1のとき.
((*) の左辺) = 1.
((*) の右辺)=2√1 = 2.
よって, (左辺) < (右辺) となるから, (*) は成り立つ。
(ii)n=kのとき, (*)が成り立つと仮定する.
この両辺に,
1 + 1 1/2 + 1/3 + + + 1 / 2 < < 2 √/ 2.
+1/+1/+
... <2√k.
k
1
k+1
を加えると
... (*)
1
1 + 1 1/2 + ··· + + 1/2 + 1/2 ² 1 ₁ << 2 √ √k + k = 1
k k+1
k+1.

ここで,
つ.
= 2(√k+1-√k)
=
=
2 √² + 1 - ( 2 √√k + R²+1)
=
2
√k+1+√k
1
k+1
1
k+1
2( k + 1) − (√k +1+√k)
(√k + 1 + √k) (k+1)
>0.
k+1-√k+1+k-√k+1
(√k +1 + √k) (k+1)
√k+1(√k +1-1)+√(√E-1)+1
(√k+1+√k)(k+1)
よって,
1
1 + 1/2 + 1/3 + + + + + + + + + < 2√/R + < 2√/k+1
1+
k k +1
1
k+1
となるから, n= k+1のときも, (*) は成り立つ.
以上, (i), (ii) より すべての自然数nに対して, (*) は成り立
( 証明終り)

数学 数学的帰納法

Answer 1

MathLove

示したいのは2√k＋1が右辺に来てくれることなので2√k＋1と1枚目の1番下の式の右辺の差が0より大きいことを示しています。要は2√k＋1/k＋1を仲立ちにして証明をしています。