Question

むらさきイロ❀

左の写真の問題で、Lを求める際右の写真の上の公式を使って解いては行けない理由を教えてほしいです…！
小文字lの方は道のり、つまり右写真の上と同じ公式で2aとなるのですがLは下を使って答えは4aとなり、使う公式によって答えが異なってしまうのがよくわからないです

663 動点P(x, y) は x = cost, y = sin',ust を満たす。
このとき,Pが動く道のりIとPが動いてできる曲線の長さLを
次のα を用いて表せ。
a=S²₁ √/1+4x³dx

◆曲線の長さ
1. 曲線 x = f(t), y=g(t) (a≦t≦)の長さLは
B
dx
L=S® √ √(d£)* + (dy)}* dt =S®¸√/\ƒ®©r+{\@]*d
dt
dt
| 2. 曲線 y=f(x) (a≦x≦b)の長さLは
道のり
b
L=S₁ √ 1 + (dx ) ² *dx = S°₂ √ 1 + { f'(x)}² dx
a

積分 道のり

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

coco

私も若干怪しいのですが、道のりと曲線の長さが異なる値になるのは、重なっているところを考えるか考えないかの違いだと思います

添付画像の通り、今回の問題の場合、-π<θ<0 と、 0<θ<π では同じ軌跡になります
それを別としてカウントすると4a、同じとしてカウントすると2aということかなと思います

ただ、個人的にはPの道のりの方が4a、曲線の長さが2aになる気がするのですが、、（同じ場所を往復しても通った道のりの長さは増えるが、通った軌跡の長さは変わらないため）
下の公式ではf(t)= の形に直すときに(-cost) も(cost)²も cos²t となるため、ダブりの部分が同じとして考えられるため長さは2aになるのかなと思いました、もし逆だったら分からないですすみません🙇‍♀️

むらさきイロ❀

そうです！私が間違えてましたすみません…
つまり公式はどっちでも良くて考え方として長さは半分にするということでしょうか？
ありがとうございます🙇

coco

今回の場合はもともと媒介変数表示で書かれています(xとyがそれぞれθを使ってで表されている)が、f(t)=の形にもすぐ書き換えできるので、基本的にはどちらを使う方法でも大丈夫だと思います！

ただ、f(t)= の形に書き換えるとき、二乗などが入ると書き換え前と後が同値なのか(本当に同じことを意味しているのか)を確認する必要があります
また、媒介変数表示で与えられている場合、f(t)の形に書き換えるのが難しいこともあるので、その場合は上の公式を使うことになると思います
(値は適当ですが、x=sin²t + cost、y=cos²t - sint などがあった場合2式をひとつにまとめるのは難しい、ということです)

一方、式がf(t)= の形で与えられているときは基本的には下の公式を使う、で良いと思います！

どちらにせよ、求めた長さに重複がないか、求めている部分が合っているかなどは確認が必要になると思うので、曲線の長さを求めるときも簡単な増減表を書くなどして概形を掴んでみるのが良いと思います！

むらさきイロ❀

なるほど、すごくすっきりしました…！
丁寧に説明してくださりありがとうございます！