Question

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答案の下線部がわかりません
どうして②の判別式が0なら直線①が円に接することになるのですか？①とあんまり関係ない気がしてわかりません。
2個目の下線部についても解説して頂けるとありがたいです。
解説よろしくお願いします。

次の円の接線の方程式と、その接点の座標を求めよ。
円+y^2+2x+4y-4=0) の接線で、傾きが2のもの
(2) 円x^+ジー6x+8=0 の接線で、原点を通るもの

200 (1) 求める接線の方程式を
y=2x+k・・・ ①
とおく。
① を円の方程式に代入して
x2+(2x+k)2+2x+4(2x+k) -4=0
整理すると
5x2+2(2k+5)x+k+4k-4=0
2
このxの2次方程式の判別式をDとすると
D
7 =(2k+5)²-5(k+4k-4)=-k²
+45
直線 ① が円に接するから D=0が成り立つ。
よって k2+45 0
ゆえに k=+3√5
[1] k=3√5のとき
接線の方程式は
y=2x+3√√5
7 接点のx座標は、②の重解であるから
2k+5
X= 5
接点のy座標は、③から
-5-6√5
y=2..
5
よって、 接点の座標は
-5-6√5
5
-5-6√5 -10+3√/5
5
5
x=-
+3√/5=10+3√5
5
[2] k=3√5のとき
接線の方程式は y=2x-3√5
4
接点のx座標は、②の重解であるから
2k+5_ 5+6√5
5
5
接点のy座標は ④ から
[1][2] から
-5+6/5
y = 2..
5
よって、 接点の座標は
-5+6√5 -10-3√5
5
5
-3√5--10-3√5
5
接線 y=2x+3√5のとき
接点 (-5-6√5 -10+3√5
5
5
接線 y=2x-3√5のとき
接点
-5+6√5
5
-10-3√5
5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学にわか

こんにちは！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️

数学にわか

判別式は解の個数が分かるのですが、言い換えると2つの式の交点の個数が分かります！
この問題の場合、円の式と接線の式の交点が1つである必要がある→判別式が0である、と考えることができます！

後半部分に関しては②に代入しているだけです！その際、判別式が0であることを利用してルートの中身の計算を省略することができます！

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丁寧な解説ありがとうございました！
疑問に思っていた部分が解決されました！

数学にわか

こちらこそありがとうございます♪
お力になれて良かったです✨