Question

ますっぺ

問20の解説で最初の式変形からどういう意味か全く分かりません。どなたか教えていただけると助かります

20. 〈関数についての等式から関数の周期を決める〉
実数全体の集合を定義域とする定数関数でないxの関数f(x) が,次の条件
すべての実数x に対して, f(-x)=f(x), f(1+x)=/(1-x)
を満たしている。 このとき, 次の条件
すべての実数x に対して, f(x+m)=f(x)
を満たすような正の整数mの最小値はである。
[18 早稲田大 商〕
30

20 〈関数についての等式から関数の周期を決める〉
2つの等式を用いて, f(x+2), f(x+3), f(x+4) などを調べる。
例えば, 等式f(1+x)=f(1-x) においてxの代わりに x+1とすると
f(1+(1+x)) = f(1- ( 1+x)) すなわち f(x+2)=f(-x)=f(x) など
すべての実数x に対して, 関数f(x) は
f(x)=f(x) ..... ①, f(1+x) = f(1-x) ...... ②
を満たしているから
f(x+2)=f(1+(1+x))=f(1-(1+x))
=f(-x)=-f(x) ...... ③
......
① ② ③ から
f(x+3)=f((x+1)+2)=-f(x+1)
=-f(1-x)=f(x-1) ..... ④
......
f(x+4)=f((x+2)+2)=f(x+2)=f(x) ... ⑤
③から
[1] f(x+1)=f(x) が成り立つと仮定するとき
xにx+1 を代入すると
f(x+2)=f(x+1)
仮定より f(x+2) = f(x) 20 (40)
③ より
-f(x) = f(x)
ゆえに f(x)=0
これは、関数 f(x) が定数関数でないことに矛盾するから
f(x+1)=f(x)
[2] f(x+2)=f(x) が成り立つと仮定するとき
③ より
-f(x) = f(x)
ゆえに
f(x)=0
これは,関数 f(x) が定数関数でないことに矛盾するから
f(x+2)=f(x)
[3] f(x+3)=f(x) が成り立つと仮定するとき
④ より
f(x-1)=f(x)
x に x +1 を代入すると f(x)=f(x+1)
■②のxに1+x を代入し
次に ① を使う。
■③のf(x+2)=f(x)
のxにx+1を代入し,次
に ②, ① を順に使う。
MONA
■⑤からはm=4 と結論で
きない。 m=1,2,3でな
いことを確かめる必要があ
る。
数学重要問題集(理系)
19

このときも [1] で調べたことにより矛盾が生じるから
f(x+3)=f(x)
[1] [2] [3] ⑤ から 求める正の整数の最小値は4である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

u

f(2+x)=f(1+(1+x))=f(1+A) (1+xをAとおいた)

=f(1+A)=f(1-A) (② より)

f(1-A)=f(1-(1+x)) (Aを戻した)

=f(1-1-x)

=f(-x)=-f(x) (①より)

ますっぺ

とても分かりやすかったです、ありがとうございます😊

２つも質問に答えてくださってありがとうございました。