Question

あ

(3）の証明が分かりません。

[2] p,gを0以上の整数とし, Ip.o=f'x'(1-x)" dx とおく.
ただし, x=1,(1-x)=1とする。
(1) Ip.o の値を計算せよ.
(2) q≧1のとき、エリー
(3) Ip.g
p!q!
(p+g+1)!
q
p+1
が成り立つことを証明せよ.
Ip+1.g-i が成り立つことを証明せよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

トムくま

(2)を帰納的に用いると
I(p,q)=(q/p+1) I(p+1,q-1)
=(q/p+1)(q-1/p+2) I(p+2,q-2)
=...
=(q/p+1)(q-1/p+2)...(1/p+q) I(p+q,0)
=p!q!/(p+q)! I(p+q,0)
ここで、I(p+q,0)=1/(p+q+1)だから題意は示された。

あ

=⋯の後の式の「⋯（1/p＋q）I（p＋q,0）」の所がよくわからないです💦

トムくま

I(p,q) = (q/p+1) I(p+1,q-1)
= (q/p+1)(q-1/p+2) I(p+2,q-2)
= (q/p+1)(q-1/p+2)(q-2/p+3) I(p+3,q-3)
= (q/p+1)(q-1/p+2)(q-2/p+3)(q-3/p+4) I(p+4,q-4)
=...
このように計算を繰り返していくとどこかで
= (q/p+1)(q-1/p+2)(q-2/p+3)(q-3/p+4)
...(4/p+q-3)(3/p+q-2)(2/p+q-1)(1/p+q) I(p+q,0)
まで計算が進みそうなのは分かりますでしょうか。

あ

なぜ分母にqが入ってきているのですか？

トムくま

分子が1減ると分母が1増えると考えてあげます。
以下、具体的に分子が4のとき(写真でいう線を引いていただいた部分の1番左について)を考えます。
そのとき分子はスタートのqから4まで減ったので、q-4だけ減っています。よってそのとき分母はq-4だけ増えているはずです。分子がqのとき分母はp+1だったので、分子が4のとき分母は(p+1)+(q-4)=p+q-3とわかります。
いかがでしょうか。

あ

なるほど！分かりました！わかりやすい説明ありがとうございました！