Question

環奈

証明、わからないです。
教えてください！

(1) 任意の実数x,y,zに対して不等式
x² + y² + z² ≥ xy + yz+z
が成り立つことを示しなさい。
+zx £u* x² + y² + zª ≥ xyz(x+y+z)

不等式の証明

Answer 1

Take

環奈さま

（１）(左辺)-(右辺)
　　　=(1/2)(2x²+2y²+2z²+2xy+2yz+2zx)
　　　=(1/2){(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²}≧0
　　　∴（左辺）≧（右辺）.[等号成立はx=y=zのとき]
（２）（１）の x,y,z に x²,y²,z² を代入して
(x²)²+(y²)²+(z²)²≧x²y²+y²z²+z²x²
　　　∴x⁴+y⁴+z⁴≧(xy)²+(yz)²+(zx)² …①
　　　（１）の x,y,z に xy,yz,zx を代入して
(xy)²+(yz)²+(zx)²≧xy²z+xyz²+x²yz=xyz(x+y+z) …②
　　　①②より
　　　x⁴+y⁴+z⁴≧=xyz(x+y+z).[等号成立は①②で等号が成り立つときだからx=y=zのとき]