Question

あい

解説お願いします！

PRACTICE 12/
水平な地面の地点Hに, 地面に垂直にポールが立っている。 2つの地点A, B からポ
ールの先端を見ると,仰角はそれぞれ 30° と 60° であった。 また, 地面上の測量では
A,B間の距離が20m,∠AHB=60° であった。 このとき, ポールの高さを求めよ。
ただし,目の高さは考えないものとする。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

kazuna

まず、図を想像しましょう。地点Hに立っているポールをPHとし、地点Aからポールの頂点Pまでの距離をAP、地点Bからポールの頂点Pまでの距離をBPとします。

与えられた情報から、∠AHP = 30°、∠BHP = 60°、∠AHB = 60°となります。

三角形AHPにおいて、tan(∠AHP) = AP/HP です。∠AHP = 30°より、tan(30°) = AP/HP となります。

tan(30°) = 1/√3 なので、AP/HP = 1/√3 となります。

同様に、三角形BHPにおいて、tan(∠BHP) = BP/HP です。∠BHP = 60°より、tan(60°) = BP/HP となります。

tan(60°) = √3 なので、BP/HP = √3 となります。

また、三角形AHBにおいて、cos(∠AHB) = (AP^2 + BP^2 - AB^2) / (2 * AP * BP) です。∠AHB = 60°、AP = BP = 20mですので、cos(60°) = (20^2 + 20^2 - 20^2) / (2 * 20 * 20) となります。

cos(60°) = 1/2 なので、1/2 = (20^2 + 20^2 - 20^2) / (2 * 20 * 20) となります。

式を整理して計算すると、1 = (20^2 + 20^2 - 20^2) / (2 * 20 * 20) となります。

左辺は1ですので、右辺も1となります。

したがって、式は成り立っています。

以上の計算から、AP/HP = 1/√3、BP/HP = √3、AP = BP = 20m、∠AHB = 60°の条件を満たすような三角形の形状が存在することがわかります。

この三角形の形状は、正三角形であることがわかります。

したがって、ポールの高さHPは、正三角形の高さから求めることができます。

正三角形の高さは、辺の長さの√3/2倍ですので、HP = 20 * (√3/2) = 20√3/2 = 10√3 ≈ 17.32m となります。

したがって、ポールの高さは約17.32mです。