Question

いな

証明の２段目にx=0,1,-1,2で等式が成り立つと書いていますが、これは証明するためにこの4つの値で考えているという解釈で合っていますか？？

自係数比較法
検討
係数比較法は, 恒等式の性質 (p.35 基本事項 2① : 各項の係数はすべて0) が根拠となる
これをPがxの3次式の場合, ax+bx+cx+d=0 ・・・・・・ A について証明してみよう。
[証明] ax3+bx2+cx+d=0
A がxについての恒等式とする。
......
x=0,1,-1,2で等式が成り立つから
x=0
のとき d=0
①
x=1 のとき a+b+c+d=0
x=-1 のとき -a+b-c+d=0
x=2 のとき 8a+46+2c+d=0
①から a+b+c=0
-a+b=c=0
8a+46+2c=0
......
......
000
② +③ から 26=0 ゆえに 6=0
このとき, ②, ④ から
a+c=0, 8a+2c=0
これを解いて a=c=0
よって
a=b=c=d=0
B
逆に,Bが成り立てば明らかに A は
3 0.x3+0.x2+0.x +0=0となり,これは
4 xについての恒等式である。
......
すなわち ax+bx+cx+d = 0 がxについての恒等式⇔a=b=c=d=0
ax+bx+cx+d=a'x+b'x' + c'x+d' がxについての恒等式
⇔(a-a′)x3+(b-b')x2+(c-c)x+(d-d')=0 がxについての恒等式
よって, その各項の係数はすべて 0 であるから a=a', b=b', c=c', d=d'
なお, 上の証明では,次のように、 2つの部分を示していることに注意する。
Aが恒等式 x=0, 1, -1,2で成立α=b=c=d=0 (必要条件)
a=b=c=d=0 A が恒等式 ( 十分条件)