Question

みみ

（2）の証明をする際にn=m＋1を考えているのですがこれは2（m＋1）＋2の形なのか2（m＋2）の形なのかどちらでしょうか？教えて頂きたいです。

定積分を利用した無限和
25 -1 <a< 1 とする.
(1) 積分
S"
a 1
1-x2
dx を求めよ.
(2)n=1,2,3,... のとき,次の等式を示せ.
a
x2n+2
1-x2dx=1/2/10
= 1½ log 1 + a
(3)次の等式を示せ.
(1)を用いると
log
1+α
1-a
=
n
1-a 2-
2Σ
k=0
k=0
a2k+1
2k+1
a2k+1
2k + 1
149-25
[北海道大〕

フォローアップ
1. (2) は帰納法で示すこともできます.
別解Ⅰ [1] n=1のとき
1
(左辺 = 100
ra x4
dx=
(
X
2_1+
1-x2
1-x2
13
10g
3
(右辺 = 1/2/
1/12/108
1+a
log
= 1/10g
log 1+ a
a³-a+log 1±a
1-a
k=0
- a
a2k+1
2k + 1
a³
20
1+α
(1)より)
w/Pw
IM-
1-a
21+11+4
2(m+z):2m+4
...(左辺) (右辺)
=
[2]n=mのとき等式が成り立つと仮定する. n=m+1のとき
pa
(左辺)=1
0
X
2m+4
dx=
1-x2
ra .2m+4_x2m+2
x2m+2+x
+x2m+2
dx
は不要
S
0
1-x2

a
=S² {
x2m+2 (x²-1) + x2m+² ) dx
1-x2
a2m+2dx+
x
1-x2
ca x2m+2
So
a2m+3
+
2m+3
1/12/10
log
1+α
m+1
1-x2
-
1+a
1-a
a2k+1
=/1/10
log 1+2+1
k=0
2k +1
}
dx
m
k=0
a2k+1
2k+1
153-25
ロー
(帰納法の仮定より)
=(右辺)
よって, n=m+1のときも成り立つ。
に収束す
[1], [2] からすべての自然数nについて与式は成り立つ。
脚本

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かき

2(m+1)+2です。
なぜなら、元が、2n+2なので、n=m+1を代入しています。