Question

ほい

なぜ81の（2）と82の（2）で場合分けのやり方が違うのですか？

138
基本 例題 81 2次関数の最大・最小 (3)
00000
αは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x-4x+5について、次の
問いに答えよ。
(1) 最小値を求めよ。
最大値を求めよ。
指針 区間は0≦x≦a であるが, 文字αの値が変わると, 区間の右端が動き、 最大・最小と
なる場所も変わる。よって、区間の位置で場合分けをする。
(1)y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、軸が区間のさまに含まれれば頂点で
小となる。ゆえに、軸が区間 0≦x≦αに含まれるときと含まれないときで場合分
をする。
[1]
[2]
|軸
軸
軸が区間
の外
軸が区間
内大量
#31
大量
最小
-1
|最小
67x8
(2)y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸から遠いほど受)を
の値は大きい(右の図を参照)。
よって、区間 0≦x≦α の両端から軸までの距離が等しくな(S
軸
[2] 4≧2のとき
[2]
図[2]のように, 軸 x=2は区間
に含まれるから, x=2で最小と
なる。
最小値は
[1] [2] から
f(2)=1
f0<a<2のとき
a2のとき
最小
x=0x=2x=a
x=αで最小値α² -4a+5
x=2で最小値1
(2) 区間 0≦x≦a の中央の値は 1/2 である。
a
[3] 01/12 すなわち <a<43]
頂点で最小。
(1)
139
最大
<指針
★★ の方針。
区間 0≦xaの中央 20
が、軸 x=2に対し左右
どちらにあるかで場合
する
のとき
図 [3] のように,軸 x=2は区
間の中央より右側にあるから,
x=0で最大となる。
最大値は
a
f(0)=5
[4] =2 すなわちa=4 のとき [4]
図 [4] のように,軸 x=2は区
x = 0
x=a
=1/2x=2
x=0の方が軸から
分けの境目となる。
るような (軸が区間の中央に一致するような) αの値が場合
★
=
近 遠
x=0,4で最大となる。
間の中央と一致するから,
最大
最大
<軸と x = 0, a
等しい。
[3] 軸が区間の
中央より右
[4] 軸が区間の
中央に一致
軸
区間の両端
から軸まで
の距離が等
しいとき。
[5] 軸が区間の
中央より左
軸
最大値は
f(0)=f(4)=5
x=0
x=4
x=21
最大
[5] 2< // すなわちα>4のとき [5]
最大
最大
区間の
区間の
中央
[5]のように,軸 x=2は区
間の中央より左側にあるから,
軸
●最大
Ax=a0)
中央)+(1
区間の
中央
x=αで最大となる。
最大値は
[3]~[5] から
f(a)=d²-4a+5
x = 0
x=a
x=2x=0
20
f(x)=x-4x+5=(x-2)2+1
解答 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=2
[1] 0<a<2のとき
(1) 軸x=20≦x≦aの範囲に含まれるかどうかで場合
分けをする。
f(x)=x2-4x+22
-22+5
0<a<4のとき
x=0で最大値5
この
最小
a=4のとき
x=0,4で最大値5
にた
指針の方針。
[1]
軸x=2が区間0≦x≦a
に含まれるかどう
a4のとき
x=αで最大値α-4+5
10.0

140
基本 例題 82 2次関数の最大・最小 (4)
αは定数とする。 0≦x≦2における関数 f(x)=x2-2ax-4aについて次の
いに答えよ。
(1) 最小値を求めよ。
指針 この問題では,区間
0000
最大値を求めよ。
小
[3] a > 2 のとき
[3]のように,軸 x = α は
区間の右外にあるから,
x=2で最小となる。
最小値は
[1]~[3] から
fa<0 のとき
f(2)=-8a+4
[3]
x=0で最小値 4α
最小
区間の右端で最小。
x=0
x=2xa
141
0≦x≦2に文字αは含ま
れないが, 関数 f(x) に
文字 αが含まれる。
軸が
動く
軸が
動く
a>2のとき
関数 f(x) を基本形に直
す
x=0x=2
x=0x=2
x=0x=2
f(x)=(x-a)-α-4a
で最大・最小となる場所が変わる。
軸は直線x=αであるが, 文字 αの値が変わると, 軸(グラフ) が動き, 区間 0≦x2
[2]
よって, 軸の位置で場合分けをする。
図 [4] のように,軸 x =α は
区間の中央より左側にあるから,
x=2で最大となる。
最大値は
0≦a≦2のとき x=αで最小値α-4a
x=2で最小値-8a+4
(2) 区間0≦x≦2の中央の値は 1
[4]<1のとき
[4]
f(2)=-8a+4
<指針
の方針。
軸 x=α が 区間
0≦x≦2の中央1に対し
左右どちらにあるかで場
合分けをする。
x=2の方が軸から遠い。
3章
x=0x=ax=2
(1)最小値 関数 y=f(x)のグラフは下に凸であるから,軸が区間に含まれるときと
含まれないとき,更に含まれないときは区間の左外か右外かで場合分けをする。
中間
(2) 最大値 グラフは下に凸であるから, 軸から遠いほどの値は大きい。
よって、区間の両端 (x=0, x=2) と軸までの距離が等しいときのαの値が場合分
けの境目となる。
[5] α=1のとき
図 [5] のように,軸 x =α は
区間の中央と一致するから、
x=0,2で最大となる。
最大値は
[5]\
このαの値は, 区間 0≦x≦2 の中央の値で
0+2=1
中
2
5] 大量
中央より
f(x)=x2-2ax-4a=(x-a)2-a-4a
解答 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線 x=α
f(x)=x2-2ax+a^
-a²-4a
f(0)=f(2)=-4
[6] α>1のとき
図 [6] のように,軸 x =α は
区間の中央より右側にあるから,
x=0で最大となる。
軸と x=0,2との距離が
等しい。
x=0x=1x=2
[6]
最
大
--------
⑩ 2次関数の最大・最小と決定
x=0 の方が軸から遠い。
(1) 軸x=αが0≦x≦2の範囲に含まれるかどうかを考え
最大値は f(0)=-4a
る。
[1] α <0 のとき
図 [1] のように,軸 x=α は
[1] 軸]
2+0-
区間の左外にあるから,
指針_
....... ★ の方針。
軸x=αが区間0≦x≦2
に含まれるか, 左外か右
外かで最小となる場所が
変わる。
[4]~[6] から
|a<1のとき
x=2で最大値-8a+4
a=1のとき
x=0, 2で最大値-4
x=0で最小となる。
最小値は
fal
a>1のとき
x=0で最大値-4a
最小
f(0)=-4a
大量
区間の左端で最小。
大x=ax=0x=2
[2] 0≦a≦2のとき
2
の方針
図 [2] のように,軸 x=α は
区間に含まれるから,
に含まれるかどうかで。
x=αで最小となる。
最小値は
頂点で最小。
わる。
最小
x=0x=ax=2