Question

ゆい

(2)の問題でy=m(x−3)+2で既にxとyの関係式が求まっているのに、mをxに書き直した理由が分かりません。

演習
5.4 ABC
(C)
xy平面上で, 放物線 C:y=x²-2x+3と,点(3,2)を通る傾きの直線が異な
る2点P, Qで交わっている。
(1)m のとり得る値の範囲を求めよ.
XX(2) が (1) の範囲で変化するとき, 線分 PQ の中点R の軌跡を求めよ.
& あり

(2)2点P,Qのx座標をそれぞれα, β とおくと, α, β
は, ③ の異なる実数解である.
線分 PQ の中点をR(X, Y) とおくと,
a+B
m+2
X
2
2
Y=m(X-3)+2.
⑤ から, m=2X-2 として ⑥ に代入して,
Y=(2X-2) (X-3) +2

=2X2-8X +8.
また, ④ ⑤ より,
X < 1, 5 < X.
よって, 求める点R の軌跡は,
放物線y=2x2-8x+8のx<1,5 <xの部分.

Answer 1

緑茶

軌跡を答えるときはパラメータを消去するのが基本です。
例えば、「点P(a,b)がa=t,b=t^2(tは全ての実数を動く)を満たすとき、Pの軌跡を求めよ」という問題で、｛(t,t^2)|tは実数｝と答えられてもtの値によって点が変化するのでピンと来ないですよね。それよりも、放物線y=x^2と答えられた方が軌跡ははっきりと分かります。
今回の問題では、mがパラメータです。単に⑥の式を答えとすると、mが動いた時に直線全体も変化するので、結局Rはどこを動くの？となりますし、むしろそれを聞かれている問題です。そのため、パラメータを消去して、Rが動く範囲を確定させる必要があるということです。

何か分からないことや、納得できないことがあれば、また教えて下さい。