Question

Ｊ

数学的帰納法の問題で、ペンでマークしたところはどのように計算したのかよく分かりません🥲
わかる方よろしくお願いします！

84
B
問題
93 nは自然数とする。 数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。
(n+1)(n+2)(n+3)........(2n) = 2".1.3.5
(2n-1)
816
・①
(i) n=1のとき
左辺 = |+1=2
1+1=2 右辺:21.12
左辺:右辺
n=1のとき① が成り立つ
(ii) n=k のとき ①が成り立つと仮定する

) n =
93 この等式を(A)とする。
[1] n=1のとき
左辺 = 1+1=2,
右辺 =2′.1=2
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
よって、
[1], [2]か
ついて (A
(3)この不
[2]
(A) が成り立つ,すなわち
=kのとき
(k+1)(k+2)(k+3)........ (2k)
[1] n=
た
= 2.1.3.5····(2k-1)
が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの
(A) の左辺は
(k+2)(k+3)(k +4)･･･ ・・(2k)・(2k+1)・{2(k+1)}
=(k+1)(k+2)(k+3)........ (2k)×2(2k+1)
=2.1.3.5･････ (2k-1)×2(k+1
=2k+1.1.3.5........ (2k+1)
=2+1.1.3.5......{2(k+1)-1}
よって, n=k+1のときも (A) が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が
成り立つ。
94 (1)この不等式を (A) とする。
[1] n=1のとき
左辺 =5'=5,
右辺 =4・1=4
よって, n=1のとき, (A)が成り立つ。
[2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち
5k >4k
が成り立つと仮定する。
n=k+1のときの(A) の両辺の差を考えると
5k+1-4(k+1)=5.5-(4k+4 )
>5.4k-(4k+4)
よって
[2]n=
[1],
12.
が成
n=
す
よ
成り
95 (1)
とす
[1]
(4k-1)>0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

てと

こんな感じです！分かりにくければ質問ください！

Ｊ

ありがとうございます！ごめんなさい、
(2K)・(2K＋1)はどのように考えたのでしょうか?

てと

質問ありがとうございます！もともとの左辺は
(n+1)(n+2)(n+3)×・・・×(2n)となっていましたが、
これは
(n+1)(n+2)(n+3)×・・・×(n+n)と考えてあげます。
そこで、今各カッコ内の1,2,3,…,nを見て、さらに
(n+1)(n+2)(n+3)×・・・×(n+n-2)(n+n-1)(n+n)
としても大丈夫ですね。(ここが1番難しいところ？)

ということで、
今n=k+1のとき、
先ほどの式にn=k+1を代入すれば
(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)×・・・×(k+1+k+1-2)(k+1+k+1-1)(k+1+k+1)
=(k+2)(k+3)(k+4)×・・・×(2k)(2k+1)(2k+2)
=(k+2)(k+3)(k+4)×・・・×(2k)(2k+1)2(k+1)となります！

Ｊ

なるほど!めっちゃわかりやすいです
神です✨　本当にありがとうございました！！