数学
高校生
解決済み
数2の問題です。なぜマークアップした式になるのかがわかりません。解説よろしくお願いします🙇
4_01
- Y½ - ½ x + 2
□51 x, y が x2+y24 を満たすとき 2x-yの最大値、最小値を求めよ。 (20点)
51
x2+y2=4
...... ① とする。
不等式 x 2 + y'≤ 4 の表す領域を
A とすると, 領域 Aは右の図の
斜線部分である。
ただし,境界線を含む。
2x-y=k
......
.② とおくと,
・2
これは傾き 2, 切片kの直線を表す。
2x-yの値の範囲は, 直線 ② が領域 Aと共有点を
もつようなんの値の範囲である。
図から, 直線② が円 ① と第2象限で接するとき,
-kの値は最大になるから, kの値は最小になる。
また, 直線②が円 ① と第4象限で接するとき, -k
の値は最小となるから, kの値は最大になる。
①,②から 5x2-4kx+k2-4=0
******
③
この2次方程式の判別式をDとすると, 直線②が
円 ①に接するための条件は
D=0
D
ここで
=(-2k)2-5(k2-4)=-k2+20
4
ゆえに,-k2+20=0から
k=±2√5
第2象限では x < 0, y>0であるから,② より k<0
で
k=-2√5
このとき,③の重解はx=
-4(-2/5)
4√5
2.5
5
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