Question

nina

数II 3次の対称式の値
解答1行目の3つの式は公式を元に出していると思うのですが、どう変形してなったのか…途中式を教えてください！！

重要 例題 66 3 次の対称式の値
3次方程式 x3x+5=0の3つの解をα, B, y とするとき,Q+B'+2,
(Q-1) (B-1) (y-1), ' +3 +y3 の値をそれぞれ求めよ。
p.95 基本事項 [2]
指針値を求める式はどれもα, B, Yの対称式。 したがって, 2次方程式の場合と同様に、次の
方法で求めることができる。
解の対称式の値 3次方程式 ax+bx+cx+d=0の解α, B, y
1. 基本対称式 α+β+r, aβ+By+ra, aBy で表す。
2ax+bx+cx+d=a(x-a)(x-β)(x-r) の利用。
3. aa+ba2+cα+d=0 などの利用。
解答
3次方程式の解と係数の関係から
a+β+y=0,aB+βy+ya= -3, aBy=-5
ゆえに
a²+ẞ²+y²=(a+B+r)²-2(aẞ+By+ra)
=02-2.(-3)=6
等式x-3x+5=(x-a)(x-B)(x-y) が成り立ち、この等式
の両辺に x=1 を代入すると
1. の方法。
2. の方法。
13-3・1+5=(1-α) (1-B) (1-y)
よって
(α-1) (B-1)(x-1)=-3
α, β, y はそれぞれx-3x+5=0の解であるから
a³-3a+5=0
ゆえに
Q3=34-5
3.の方法。
次数を下げる。
B^-3B+5=0
y3-3y+5=0
ゆえに B'=3β-5
ゆえに 73=37-5
******
******
この問題では,3次から1
次に下げることができるの
で,有効である。
① ② ③ の辺々を加えて
a2+3+y=3(a+β+y)-15=-15
別館 [(α-1)(β-1)(x-1) の値を求める際の別解]
(a-1)(B-1)(-1)
=aby-(aB+By+ya)+(a+B+2)-1
=-5-(-3)+0-1=-3
別解 [α++の値を求める際の別解]
[]α+3+y-3aBy= (a+B+y) (α++y-aβ-βr-ya)
であるから, α+β+y=0, aβy=-5 より
Q3+B'+y-3 (-5)=0
すなわち α" +β'+y=-15
1. の方法。
この因数分解は重要。
1. の方法。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ら

この問題はax³＋bx²＋cx＋d=0にあてはめるとa=1、b=0、c=－3、d=5より
α＋β＋γ=－b/a=－0/1=0
αβ＋βγ＋γα=c/a=－3/1=－3
αβγ=－d=－5

nina

すみません、ax³+bx²+cx+d=から、なんで右の式になったか分かりません💦

ら

ax³＋bx²＋cx＋d=0という三次方程式で3個の解をx=α,β,γとおきます。
これは解なのでxにαβγを代入すれば右辺は必ず0になるということです。

ということはa(x－α)(x－β)(x－γ)とおけばxにα,β,γを代入すれば(x－α)=0 or(x－β)=0 or (x－γ)=0となるので右辺の=0に成り立ちますよね
そういう意味でこうおきます

ちなみに二次方程式でx=α,βを解にもつとき、
ax²＋bx＋c=a(x－α)(x－β)と因数分解しますよね
それと同じ理論です

nina

わかった気がします、回答ありがとうございます。