Question

🍓みるく🍓

1枚目の(3)の問題で2枚目の黄色い線の部分の式がどうやったら出るのかと必要な理由が分かりません。
わかる方、教えていただけると嬉しいです🙏🏻 ⟡.·

nは自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次のことを証明せよ。
(1) 5>4n
*(2) n≧3 のとき
(3) 12+22+32 +......+n² <
(n+1)3
3
3">5n+1

(3)この不等式を (A) とする。
[1] n=1のとき
C
= 左辺 = 121,
右辺 = (1+1)3_8
3
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
3
[2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち
12 +22 +32 +....+k<.
+k²
(k+1)3
3
が成り立つと仮定する。
n=k+1のときの (A) の両辺の差を考えると
{(k + 1) + 1}3
3
(k+2)3
3
-
− {1²+2² + ...... + k²+(k+1)²}
-(k+1)2
(k+1) 3
3
3k2 + 9k + 7
- 0
3
すなわち
-
(k2+2k+1)=k+/>
1²+2² + ......+ k²+(k+1)² < (k+2)³
3
1)
よって, n=k+1のときも (A) が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が
成り立つ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

赤枠の部分の比較ですが、
1²+2²+…+k²＜(k+1)³/3
が成立すると仮定をしていますので、
-(1²+2²+…+k²)＞-(k+1)³/3
も成り立ちます。
なので、オレンジの大小の向きも逆になっています

🍓みるく🍓

理解力がなくて申し訳ないです💦
1²+2²+3²+...+k²を(k+1)³/3に置き換えているということでしょうか？この2つは＝ではないのに置き換えることは出来るのですか？

きらうる

＞1²+2²+3²+...+k²を(k+1)³/3に置き換えているということでしょうか？

はい。置き換えています。

＞2つは＝ではないのに置き換えることは出来るのですか？

できます。

なぜかというと、
例えば、a＞b、c＝dという式があったとします。
a＞bの両辺に+cをします。
c+a＞c+b　これって成り立ちますよね。
さらに、c＝dなのですから、
c+a＞d+b　も成り立ちます。
"かける"や"わる"は不等号の向きが変わる場合があるのでできませんが、"たす””ひく"は不等号の向きを変えることなく不等式で表すことができます。

🍓みるく🍓

分かりやすく丁寧な解説、本当にありがとうございます。おかげで理解することが出来ました✨️✨️
本当に助かりました🙏🙇‍♀️