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平方完成すると
(x-a)²-a²+3a
問題文から、
0≦x≦2のとき、(x-a)²-a²+3a>0が常に成り立つためのaの条件を考える。
0より大きくなることと、グラフが下に凸であることから、最小値を考えれば良い。
なので(x-a)²-a²+3aの最小値の場合について考え、aを場合分けしていけば良い。
(ⅰ)a>0のとき
0≦x≦2の範囲で最小値はx=0ときであるから、(0-a)²-a²+3a=3a>0⇔a>0⋯①
(ⅱ)0≦a≦2のとき
0≦x≦2の範囲と同じ範囲だから、x=aのとき最小値をとる。(a-a)²-a²+3a=-a²+3a>0⇔a²-3a<0⇔a(a-3)<0
よって0<a≦2⋯②
(ⅲ)2<aのとき
0≦x≦2の範囲で最小値はx=2ときであるから、(2-a)²-a²+3a=-a+4>0⇔4>a⋯③
①,②,③より0<a<4
グラフが上に行ったり、下に行ったりしているのは今回の問題を解く上ではあまり関係ないと思います。ただ正しいグラフを描いているだけに過ぎないと思います。
上に行ったり下に行ったりする理由は平方完成したときの(x-a)²-a²+3aの-a²+3aがグラフの頂点のy座標を表しており、aのとる値によって値が変わるからです。-a²+3aはaの関数としてみれば上に凸なaの2次関数と言えます。なので頂点のy座標は-a²+3aの値を取りながら変化するため、正の値(グラフの上側)や負の値(グラフの下側)を取ってたりと変化するわけです。
とりあえず今回の問題で大切なことは、xが0≦x≦2と範囲が決まっていることからxをほぼ定数と見ることができ、aがいろんな値を取れるため、実質的に変数としてみることができるということだと思います。
分かりづらかったらすいません。
ありがとうございました！