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数Iの二次不等式の質問です
なぜこの方程式がじつ数回をもつ条件を利用して解くのか理解できないです

重要 例題 1222 変数関数の最大・最小 ( 4 )
000
小値、およ
実数x, y が x2+y2=2を満たすとき,2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。
思い出
203
[類 南山大 ]
基本 101
指針
条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y2=2から文
字を減らしても, 2x+yはxyについての1次式であるからうま
くいかない。
見方をか
そこで, 2x+y=t とおき, tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
→2x+y=t を y=t-2x と変形し,x2+y2=2に代入してyを消
去すると x2+ (t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつ⇔D≧0 の利用。
CHART 最大・最小 =t とおいて,実数解をもつ条件利用
13
3章 15 2次不等式
2x+y=t とおくと y=t-2x
①
二もに2枚
これをx2+y2=2に代入すると
解答
式は
整理すると
x2+(t-2x)=2
5x2-4tx+t2-2=0
k, yth
g-s+x)=
ONCE
+
Sy
このxについての2次方程式② が実数解をもつための
条件は、②の判別式をDとすると
D≧0
参考実数a, b, x, y に
ついて,次の不等式が成り
立つ(コーシー・シュワル
ツの不等式)。
(ax+by)²=(a+b²) (x² + y²)
[等号成立は ay=bx]
この不等式に α=2,6=1
。
ここで
D=(-2t)2-5(2-2)=-(f2-10)
(ハース)を代入することで解くこと
できる。
D≧0 から
t2-10≤0
>>
これを解いて -√10 ≤t≤√√10
す。
-4t
2t
t=±√10 のとき, D=0で,②は重解 x=-
を
のとき,②は
t=±√10
2.5
5
5x2+4√10x+8=0
2√10
もつ。=±√10 のとき x=±
5
よって
(√5x+2√2)
20
①から y=±
√10
(複号同順)
5
2/10
よって x=
y=
5
√10
のとき最大値 10
5
2/10
√√10
x=-
y=-
のとき最小値10
①からy=±
(複号同順)
ゆえに
x=±
=±
2√2 2/10
√5
5
√10
5
5
5
としてもよい。