Question

Y

数学　関数
赤線の√2-1はどこから出てきたものですか？
また、なぜ問題のⅰ〜ⅲのように分けるのかも分からないので教えていただきたいです。

例題 4
関数 f(x) = lx(x-2a)」について,次の問いに答えよ。 ただし, aは正の
定数とする。
(1) f(x) = α2 となるxの値を求めよ。
(2)x1において, 関数 f(x) の最大値をαの関数でM)と表すとき,
M (α) の最小値を求めよ。

解答 (1) x=a, (1±√2)a
(2) 解説参照
解説
(1) f(x)=
x(x-2a) (x≤0, 2a≤x)
|-x(x-2a)
(0<x<2a)
x≦0, 2a≦xのとき,
x(x-2a)=a²
x2-2ax-a2=0
x=a±√2+α = (1±√2 )a
・0<x<2aのとき,
-x(x-2a)=a2
x2-2ax+α2=0
x=a
よって,x=a,(1±√2)a
(2)(i) 1<a のとき,
M(a)=f(1) = -(1-2a)=2a-1
f(x)^
1
2a
x
(1+√2)a
(ii)√2-1≦a≦1 のとき,
M(a)=f(a)=a2
f(x) ↑
2a
(1+√2)a
(iii) a<√2-1のとき,

M(a)=f(1)=(1-2a)=1-2a
f(x) ↑
a²
2a
x
.
(1+√2)a
これをグラフにすると,a=√2-1のときに最小値
M(√2-1)=(√2-1)2=3-2√2
となる。よってM(a)の最小値は3-2√2 (a=√2-1)
M(a)
√√2-1\
a-1
y=1-2a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

ii)では、範囲の最大であるx＝1の位置がaから(1+√2)aの間なら、f(x)の最大値がf(x)＝a²になります。ii)のグラフで、太線の部分がxの範囲になります。
つまり、a≦1≦(1+√2)aの範囲から、
1≦(1+√2)aだけを取り出して、解くと、
→　a≧1/(1+√2)　有理化して
→　a≧(1-√2)/(1-2)
→　a≧√2-1
ここから、√2-1がでてきます。

＞なぜ問題のⅰ〜ⅲのように分けるのか
最大値の位置が変わるからです。
i)のときは、x＝1のときに最大
ii)のときは、x＝aの時が最大
iii)のときは、x＝1が最大
であることが、グラフの太線の部分における最大値を表しています。

Y

理解しました！教えていただきありがとうございます！