Question

まゆげ

数学的帰納法で、n＝kに場合分けした時に両辺に1/（k +1）2を加えてn＝k +1が成り立つことを考えるとこまでは分かるんですけど、その次の緑のとこの式が分かりません。お願いします😿

よ.
すべての正の整数nに対して,次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せ
12
22
1+1 1+1+-+1352-11
≦2
n
n

12.7
(自然数=正の整数)
1/12+1/3+1
+
+
n² ² - n
THE
<証明>
(i) n=1のとき
※の(万)=1/12=1
(右)=2-÷=1
これを証明したい
よってh=1のときに成立する。
(1)n=k1K:正の整数)のとき
※力に成立すると仮定する
すなわち、11/12+1/+1/12+
32
この両に
1/12+1/+1/2
+
+
ここで
(k+1)を加えると
・2-1と仮定する。
Te
1/2 +
+
<2
①
11+112
(+1
(2- (+1)-(2-₤ + (1+1)=
=
-K(k+1)+(k+1)^-k
k(k+1)²
/*-*+*+2k+1-K
> 0
k(k+112
/(1+1)2
T
同じ
4
分母分は正だから
よって 2-1+
<2-
(k+1)2
①から②より
+
2
+
+ " "
+
+
<2-
22
2
[K+1)^
k+1
これは味がん=k+1のときも成立することを示している。
[i()より、すべての自んについては成立。
7

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

仮定とした式、
1/1²+1/2²…+1/k²≦2-1/k
の右辺をk+1番目にした時、2-1/(k+1)
になります。
この値と、①の右辺とを比べたとき、
2-1/k+1/(k+1)²＜2-1/(k+1)
が成立すれば
n+1番目の式も成立するはずです。
だから、
{2-1/(k+1)}-(2-1/k+1/(k+1)²＞0
が成り立つことを②で表しています

Answer 2

ものぐさ

②を言えれば①と②から証明したいことをいえるので②をいいたくなって
②をいうために②の右辺-左辺を計算してみただけです