次の文章を読んで,
に適した式または数値を,{}からは適切なも
のを一つ選びその番号を,それぞれの解答欄に記入せよ。また,問1では,指示にし
たがって, 解答を解答欄に記入せよ。 ただし, 円周率をπ, 重力加速度の大きさをg
とする。
(1) 図1(a)のような自然長Lで質量が無視できるばねの一端に,質量Mで大きさ
が無視できる小球を取り付けた。 このばねのばね定数はんである。 一体となった
ばねと小球を,なめらかな水平平面上に置き, 小球が付いていない方のばねの端
を,水平平面上の点0に固定した。 ばねは点0のまわりを自由に回転できる。
水平平面上で, 小球を点0のまわりで, ある一定の角速度 ω (ω> 0) 等速
円運動させたとき, ばねは伸びて, 図1(b) のように点0から小球までの距離が
ア
Rであった。 ばねの復元力により小球には点0の方向へ大きさ
イ
がかかっている。 また小球には点0から遠ざかる方向へ大きさ
心力がかかっている。 反対の方向へ働くこれらの力の大きさは,いずれも点 0
から小球までの距離に依存する。 すなわち, 角速度が ω の場合に,両者の大き
さが等しくなる点0から小球までの距離がRであり,それはk, M, L, ω を用
いて ウ と表される。
の力
の遠
問1 図1(b)の小球が等速円運動を行うための条件を導出し, 角速度w (w> 0)の
範囲で示せ。
I
解説
2025年 (前期)
理科
解答・解説
物
理
(1)ばねの弾性力を向心力とした等速円運動について考える。
ばねはR-Lだけ伸びているので, 弾性力の大き
さはk(R-L) 〔アの答〕 である。 点を中心に角
速度で回転する座標系で考えると, 小球には大き
さMRw? 〔イの答〕の遠心力がはたらく。 これらがつ
MRw2
k(R-L)
m
-bw
=
10.
M+m
である。つまり、その大きさを とすると,
u₁ =
mbw
M+m
であり,向きはy軸負の方向 ④ 〔キの答〕 である。
[カの答〕・・・・・・①
重心に作用する合力は0になるので,加速度の大きさは 0 〔コの答〕 であり,重
心は一定の速度で直線運動 ② 〔サの答〕 する。 したがって, 2つの小球の運動を重
心から見て考えると,小球にはたらく力はひもの張力だけであり (慣性力ははたら
かない) 2つの小球は重心を中心とした等速円運動をする。 重心から小球1まで
距離を とすると,
りあうので,
k
0=k(R-L)-MRw² よって, R=
CL
k- Mw2
〔ウの答〕
T₁₁ =
m
M+m
.b
となる。
であるから,角速度は①,②より
問1 R>0でなければならないので,ウの結果より,
W₁₂ =
--w
k
T₁
k-Mω² > 0 よってω<
M
......
〔ケの答〕 ...... ③
U1
重心
である。
(2)2つの小球をひもでつないで水平平面内で運動させる場合について考える。
ひもが切れた瞬間 小球1と小球2の座標はそれぞれ (a, 0) (a +6,0) なので,
それらの重心の座標は
(x, y) =
Ma+m(a+b)
M+m
Mx0+mx0
となる(小球2の運動も同様である)。 ひもの張力の大きさをSとすると 小球1
の中心方向の運動方程式はM
Mm
S =
-bw²
M+m
が得られる。
③ を代入すると
Sとなるので,これに②
〔クの答〕
(3)2つの小球を棒でつないで鉛直面内で運動させる場合について考える。
M+m
== a+
m
M+m
-b
〔エ,オの答〕
等しいので,速さは円運動の半径に比例する)。 よって, このとき物体Aのもつ運
小津々の速度がV のとき,小球1の速度は1/2 Vo になる(2つの小球は角速度が
である。また,このときの小球1と小球2の速度はそれぞれ (0, aw), (0, (a+b)(2)
なので、重心の速度 (UGz, Ucy) は
Mx0 +mx 0
(UGT UGI)=
Maw + m(a+b)w
=
M+m
M+m
m
aw +
-bw
M+m
動エネルギーは
1/2x2mx 12/12 +1/2mv3
=
17
-
18mv2
〔シの答〕・・・・・・ ④
2asin, 3asin となるので, 物体A がもつ位置エネルギーは
になる。軸からの回転角が0のとき 小球1,2のy = 0 からの高さはそれぞれ
2mg × 2asin + mg x3asin = 7mgasine
となる。
[スの答〕 ...... ⑤
となる。よって、重心から見た小球1の相対速度 (u, uy) は
(u, u) = (0, aw) - (UG UG₁)
求めることができる。 小球1と小球2を連結する長さのひもにかかっている張
角速度
小球
は
質量 M
{サ : ①円運動,②直線運動, ③単振動}することがわかる。
ク
る。また、重心の運動は2つの小球の質量が重心に集中したものとして考えるこ
とができる。重心にかかる加速度の大きさは
コ であることから, 重心は
であり、2つの小球は重心まわりを角速度 ケ
で回転す
小球
質量M
0
R
自然長 L
なめらかな水平平面上
(a)
図1
なめらかな水平平面上
(b)
小球1 小球2
質量M 質量m
角速度
0
0.
ひも
長さの
ひも
x
小球1 小球2
長さ
(2) 図2(a)のように,質量が無視できる軽くて伸び縮みしない長さのひもの一
端を, なめらかな水平平面上の点0に固定した。 また, このひものもう一方の
端に,質量 M で大きさが無視できる小球1を取り付けた。 小球1にはさらに,
質量が無視できる軽くて伸び縮みしない長さのひもの一端を取り付け,そのひ
もの他端には質量mで大きさが無視できる小球2を取り付けた。
はじめ、2つの小球と2本のひもは,一直線上に連結されたまま, なめらかな
水平平面上で,点0 を中心とする角速度の等速円運動をしていた。 図2(b) 中
に示す通り,点0 を座標原点とし, 水平平面上のある方向に軸を,それと垂
直な方向にy軸をとる。 回転している小球2の座標が(x, y) = (a+b,0)のと
(図2(b),長さのひもが切れた。切れた瞬間の時刻をt = 0 とする。なお切
れた後のひもは,その後の2つの小球の運動には影響を与えないものとする。
長さ♭のひもで連結された2つの小球の運動に注目する。ひもが切れた直後の
なめらかな水平平面上
(a)
2つの小球の重心の位置は(x,y)=( I
オ
である。このと
き重心から見た小球1の相対速度の大きさは 力
であり,その向きは
(キ ①x 軸正の方向, ② x 軸負の方向, ③y軸正の方向, ④y 軸負の方向であ
る。 重心から見た小球2の相対速度の大きさや向きも, 小球1のそれらと同様に
図2
なめらかな水平平面上
(b)
回答ありがとうございます、まだ少しわからないことがあるのですが、なぜ張力は一定と言えるのですか？教えてくださいm(_ _)m