Question

波瑠

空間ベクトルの問題です。別解ではない方の解き方(写真2枚目)では解けたのですが、別解(写真3)の解き方が分からないので教えてください。パッと見る感じ別解の方が早く解けそうなので...

四面体 OABCにおいて, △ABCの重心をG, 辺OAの中点をMとし, OG
とMBCの交点をHとすると, OH:OG=3:4 であることを示せ。

128 OA=a, OB = b, OC = c とすると
OG = a+b+c
3
Hは直線 OG 上にある
OH=kOG
から
A
となる実数kがある。
よって
M
C
a+b+c
OH = (a + b + c )
[=kl
3
=1/2k+1/+1/10
-kc
また, Hは平面 MBC 上にあるから,
①
MH=sMB+tMC となる実数 s, tがある。
ゆえに
OH=OM+MH
=OM+s(OB-OM)
+OC-OM)
=(1-s-t)OM+sOB + tOC
1-s-t→
+ a + s b + t c
②
2
①,② から
1
1.- 1-s-t→
ka+kb+c=a+so+tc
2
4点O, A, B, Cは同じ平面上にないから
1
k=1-8-1, k=s, k=1
2
3
k
1
k k
よって
1-
2
3
3
ゆえに

したがって
よって
別解
OH=2OG
OH: OG=3:4
■指針■■-
OHをOM, OB, OC を用いて表し,それら
の係数の和が1であることを用いる。
(①までは同じ)
①から
2
-k
3
a+3
1
kb+kc
=1/23kOM+1/3/2kOB+1/32kOC
Hは平面 MBC 上にあるから
k+k+k=1
·k+ +k+ 1/3 k = 1
k=2
4
OH=2OG
ゆえに
よって
したがって
OH: OG=3:4

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

平面上にある ⇔ 係数の和1
という定理があります

波瑠

oaベクトルのところをomベクトルとして考えていませんでした。解説ありがとうございます。理解出来ました。