Question

Miya

中3数学の問題です。
(2)を教えてください。
答えは45:11です。
PDは7.2です。

二つの相似　ABQ相似DCQ、BCQ相似ADQを使うのかなと思いましたが上手くいきませんでした。

よろしくお願いします。

[5] 右の図のように,円の周上に4点 A, B, C, Dがある。
直線 AB と直線 CD の交点を P, 弦 ACと弦 BDの交点を Q とする。
PA=9, PB= 4, PC=5であるとき、 次の問いに答えなさい。
(1) 線分 PD の長さを求めなさい。
(2) AQ:QCを最も簡単な整数比で表しなさい。
B
A
P
C
D

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

N.H.

もし今中三に教えるなら、メネラウスの定理
使っても良い気はしますが...。

N.H.

(多少はまともな解答)
でもこれ面倒です。

Miya

確認遅くなりました🙇‍♀️
ありがとうございます。

確かに、メネラウス使ってしまうと早いですね！
中三までの知識での回答もありがとうございます。
DQが仲介になって、比を合わせると解ける、ということですね。

もう一度自分で解き直しをしてみます、ありがとうございました。

Answer 2

kake

(1)
方べきの定理より、
PB×PA=PC×PD
4×9=5×PD
PD=36/5(=7.2)

(2)
ABQ∽DCQ(ABQ相似DCQ)でいけますね。
対頂角からAQB=DQC
円周角からBAQ=CDQ
よって、2組の角がそれぞれ等しいことが分かり、相似であることが示されます。

AB:DCから相似比を求めるので、
それぞれの長さを出しておきます。
AB=PA-BP=9-4=5
DC=PD-PC=(36/5)-5=11/5
以上より、AB:DC=5:11/5
となり、分母を払うために5を掛けて、25:11が相似比として得られるため、同様にAQ:QCも25:11となると思うのですが、提示してもらった答えと矛盾するんですね。

一応送っておきますが、答えを再確認した末に変わらず45:11となるのであれば、消させていただきます。解法を一読していただいて、考え方の再確認程度に使っていただけたら幸いです。

Miya

確認遅くなりました🙇‍♀️
ありがとうございます。
私も最初同じように25:11になってしまったのですが、答えが45:11でして💦
ABQとDCQの相似だと、
AB：DC、AQ：DQ、BQ：CQの相似比になるため、
AQ：CQの比が出るわけではないみたいです。

長文でのご回答ありがとうございました🙇‍♀️