(題目必須注明 f 是多項式函數)
(否則 f 在非整數 x 時的值並不能確定)
這裡用到巴貝奇定理的概念：
若 P(x) 是 n 次多項式函數，且 d 是一個常數
則 P(x+d) - P(x) 是一個 n-1 次多項式函數
(⇒ 自變數相差常數，函數相減會降次)
設 g(x) = f(x) - f(x-1)
由於
f(x+1) - 2f(x) + f(x-1) = [ f(x+1) - f(x) ] - [ f(x) - f(x-1) ]
原式可以改寫成
g(x+1) - g(x) = 4x+10
所以說 g(x) 是二次函數
並且又因為
f(x) - f(x-1) = g(x)
所以 f(x) 是三次函數
先找好4個 f(x) 的值
f(x+1) = 4x+10 + 2f(x) - f(x-1)
代入 x=1
⇒ f(2) = 14 + 2f(1) - f(0)
⇒ f(2) = 16
代入 x=2
⇒ f(3) = 18 + 2f(2) - f(1)
⇒ f(3) = 49
現在我們知道：
1. f(x) 是三次函數
2. f(0) = 0 , f(1) = 1 , f(2) = 16 , f(3) = 49
這就是常見的插值法的問題
以下用牛頓插值法求解
設 f(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1) + cx + d
f(0) = 0 ⇒ d = 0
⇒ f(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1) + cx
f(1) = 1 ⇒ c = 1
⇒ f(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1) + x
f(2) = 16 ⇒ 2b+2 = 16 ⇒ b = 7
⇒ f(x) = ax(x-1)(x-2) + 7x(x-1) + x
f(3) = 49 ⇒ 6a + 42 + 3 = 49 ⇒ a = 2/3
⇒ f(x) = (2/3)x(x-1)(x-2) + 7x(x-1) + x
展開
f(x) = (2/3)(x³-3x²+2x) + 7(x²-x) + x
= (2/3) x³ + 5 x² - (14/3) x
另解：
同樣由於巴貝奇定理
在找 4 個 f(x) 值之前
可以先假設 f(x) = ax³ + bx² + cx + d
所以
f(x+1) = a(x+1)³ + b(x+1)² + c(x+1) + d
2f(x) = 2ax³ + 2bx² + 2cx + 2d
f(x-1) = a(x-1)³ + b(x-1)² + c(x-1) + d
f(x+1) - 2f(x) + f(x-1)
= a[(x+1)³ - 2x³ + (x-1)³]
+ b[(x+1)² - 2x² + (x-1)²]
+ c[(x+1) - 2x + (x-1)]
+ d[1 - 2 + 1]
= a[6x] + b[2] + c[0] + d[0]
= 6ax + 2b
= 4x+10
⇒ a = 2/3 , b = 5
⇒ f(x) = (2/3)x³ + 5x² + cx + d
剩下兩個未知數要代入 x=0 和 x=1
f(0) = 0 ⇒ d = 0
f(1) = 1 ⇒ (2/3) + 5 + c = 1 ⇒ c = -14/3
所以
f(x) = (2/3) x³ + 5 x² - (14/3) x