Question

もずく

高校数学、解の配置の問題です。
模範解答と解き方が違うのですが、答えは出ました。この解答で出してもよいのでしょうか？また、減点されるポイントがあったら教えてほしいです。

解答よろしくお願いします🙇‍♀️

1
曲線 y=x2 上に2点A(-1,1),B(b, 62) をとる。ただし
b>-1とする。このとき,次の条件を満たす6の範囲を求めよ。
条件: y=x2 上の点T (t, t2) (-1<t<b) で, ∠ATB が直角にな
るものが存在する。
S.86
D.A
8.38

(12)
A
→x
10T
TA = (-1-1, 1-1²), TB= (b-1b-1)
∠ATBが直角となるとき、テイ、TB=0
1
↓-1-(111) (6-1) + (1 - 1²) (b²-1²) = 0
(b-1)(1+1)(1+(1-1)(b+2)}=0
(b-1)(11)(1-b)t+b-1=0
(b-t) (t+1){t² + (b-1) 1-b+1} = 0
これを聞いて
t=b, -1, 1-b±√B+26-3
2
1,bはそれぞれ点A、Bの座標でありぐり。
-<t<bより不適。
よって、∠ATBが直角となるには、た
1-6310-26-3
61
2
天数解である必要がある。
(b-1)t-b+10の判別式をDとすると、DEOになるから
D=b426-3
=(b+3)(b-1) 20
65-3, 156
67-1 £11. 156

62 2016 年度 数学 <解答>
[数学]
名古屋大文系前期
1
のが存在する条件を考えてみよう。
◆発想 与えられた条件の点 T が存在することは,t が存在す
ることである。まず、条件を式で表すことを考え、次に、その
TA= (-1-t, 1-12)
解答
=(1+t)(-1, 1-t)
TB=(b-t, 62-t²)
=(b-t)(1,b+t) (-1<t<b)
VA
620
/B
y=x2
名古屋大文系前期
(i) f(-1) <0
(i) f(-1)≥0
2016年度 数学 (解答) 63
2
>-1<10 <0 * (1-0) ≤0
u=f(t)/
(i)\
u=f(t)
1-6
bt
bt
(i)のとき
(-1)=1-(1-6) (-1)+1-6=3-26 <0
3
から ∠ATB が直角となる条件は
から
b>
2
TATB=0
A 1
(i)のとき
すなわち (1+t≠0, b-t≠0 に注意して)
(−1)・1+(1-t)(6+t)=0
T
1 0 t
f(-1)=3-260 かつ 2 <1-b<26
かつ(b-1)(b+3)≦0
よって
3.
から
f2-(1-b)t+1-b=0 ...... ①
3
ここで
·bs.
かつ / <b<3 かつ (b≦-3 または 1≦b)
2
f(t)=t-(1-b)t+1-6
る。
とおくと, ①を満たすt (-1<t<b) が存在する条件は, tu 平面におい
て, u=f(t) のグラフと直線 u=0が-1<t <bで共有点をもつことであ
すなわち
1≦b
2
したがって, ②
(1+621
③ から, 求めるbの値の範囲は
(1)-(1-122-2121 (6-1)(63)
また
f(b)=62-(1-6)6+1-6
=262-26+1
-210-1/2)+/1/20
(答)
解説
<ベクトルの直交条件, 2次方程式の解の配置>
tの満たすべき方程式 ① は TATB=0から求めたが,これを
(ATの傾き)×(BTの傾き)=-
>0
であるから,t が存在するのは、次の2つの場合である。
とき, f (b)>0がつねに成り立つことから, (i), (i)の場合に限られる。
1-12 62-12
-=-1
-1-tb-t
から求めてもよい。
さらに,① はについての2次方程式となるが、このとき,-1<t<b
の範囲に解をもつ条件について考察する 「解の配置」の問題となる。この

数学 解の配置 ベクトル 内積 座標平面

Answer 1

和

ダメです
要するに、模範解答の後半の解の配置の処理を丸々やっていません
答えが一致しているようなのはたまたまかと思います

あなたも「実数解である必要がある」と言っているように、
判別式≧0は必要条件の一つであって、
これで出てきた1≦bが十分性を満たすかのチェックをしなくてはなりません
それが(i)(ii)のチェックです

というか、模範解答は、解の配置のいわゆる3つの条件を
一気に立てて、必要十分条件として出していますね

もずく

三つの条件というのは、f(-1)とf(b)とx=(1-b)/2について検討している部分のことでしょうか？

和

(ii)のところです（広い意味では(i)もですが

軸の条件、端点の条件、判別式の条件です
解の配置問題で定番のやつです

答えが一致しても、たまたまなので、
判別式の条件を立てた、
までの評価になるのが普通かと思います

Answer 2

希

確かに答えは一致しています。

しかし、その解答ではb ≧ 1のとき
t = (1-b±√(b²+2b-3))/2のどちらかが-1 < t < bを満たすかどうかが分かりません。

要するに、t = (1-b±√(b²+2b-3))/2が実数解であるという条件では不十分で、-1 < t < bで実数解でないといけません。
今回はたまたまb ≧ 1のときその条件を満たします。ですが、それを議論していないとおそらく減点されます。

もずく

この問題が200点満点だとしたら、どれくらいなら点がもらえそうでしょうか…？

希

あと-1 < t < bを確認するだけなので160〜180点ぐらいだと思います。