Question

負けず嫌い©

この問題の考え方、解き方について教えていただきたいです。

68 △ABCにおいて,辺 AB, BC, CA を 2:1に内分
する点をそれぞれD,E,F として, さらに線分DE,
EF を2:1に内分する点をそれぞれ A', B' とする。
このとき, A'B' // AB であることを証明せよ。
B
F
BH

ベクトル

Answer 1

ちゃし。

① 座標を置く

B(0,0) C(3,0) A(0,3)と計算しやすい位置におく。

②点D,E,F の座標

D は AB を 2:1 に内分。
AB 上なので、A(0,3) B(0,0)です。
AD:DB=2:1 だから、D=(0,1)

E は BC を 2:1 に内分。
B(0,0) C(3,0)よりE=(2,0)

F は CA を 2:1 に内分。
C(3,0) A(0,3)で、CF:FA=2:1
だからF=(1,2)になる。

③ A’ の座標

A' は DE を 2:1 に内分。
D(0,1),\ E(2,0)なので、内分点の公式を使う。
A′=(4/3,1/3)

④ B’ の座標

B' は EF を 2:1 に内分。
E(2,0) F(1,2)だから
B'=(4/3,4/3)

⑤ 傾きを調べる

AB の傾きA(0,3),B(0,0)なので縦の直線。
つまりx=0

A′=(4/3,1/3)
B'=(4/3,4/3)どちらもx=4/3
なので、これも縦の直線！

⑥ 結論
AB も A’B’ も縦の直線なので、
A'B' \\AB